вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2-x^2, y=x, y=0.
Условие:
вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2-x^2, y=x, y=0.
Решение:
Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем использовать метод интегрирования.
Сначала найдем точки пересечения линий.
Уравнение y = 2 - x^2 представляет параболу, а уравнение y = x - прямую. Чтобы найти точки пересечения, приравняем их:
2 - x^2 = x
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
x^2 + x - 2 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 1 и c = -2. Подставим значения:
D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √9) / (2*1) = (-1 + 3) / 2 = 1
x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √9) / (2*1) = (-1 - 3) / 2 = -2
Теперь найдем соответствующие значения y для каждой точки пересечения:
y1 = 2 - x1^2 = 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1
y2 = 2 - x2^2 = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2
Таким образом, точки пересечения линий - (1, 1) и (-2, -2).
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью интеграла:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
где f(x) - это верхняя функция (в данном случае y = 2 - x^2), g(x) - это нижняя функция (в данном случае y = x), а [a, b] - это интервал, на котором мы вычисляем площадь (в данном случае от -2 до 1).
Таким образом, площадь фигуры будет равна:
S = ∫[-2, 1] (2 - x^2 - x) dx
Вычислим этот интеграл:
S = ∫[-2, 1] (2 - x^2 - x) dx = [2x - (x^3/3) - (x^2/2)]|[-2, 1]
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
S = (21 - (1^3/3) - (1^2/2)) - (2(-2) - ((-2)^3/3) - ((-2)^2/2))
S = (2 - 1/3 - 1/2) - (-4 + 8/3 - 4)
S = (6/6 - 2/6 - 3/6) - (-12/6 + 16/6 - 24/6)
S = (1/6) - (-20/6)
S = 21/6
Упростим дробь:
S = 7/2
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2, y = x и y = 0, равна 7/2 или 3.5.
