Из точки A к окружности проведены касательная AM ( M – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (точка L лежит межд...
Условие:
Из точки A к окружности проведены касательная AM ( M – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (точка L лежит между A и K ), такая, что угол AMK – острый. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности. а) Докажите, что угол AMK равен 60°. б) Найдите площадь треугольника AMK , если 2 LK AL
Решение:
Для доказательства угла AMK равного 60°, воспользуемся свойством касательной, которое гласит, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, является прямым углом.
Пусть O - центр окружности, R - радиус окружности. Также пусть x - длина отрезка OK, y - длина отрезка OL.
Так как расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности, то получаем, что KM = R/2.
Так как AM является касательной, то угол OMA = 90°.
Также угол OMK = 90°, так как OK - радиус окружности.
Теперь рассмотрим треугольник OKM. У него два угла равны 90° и один угол равен α = AMK.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому получаем уравнение:
90° + 90° + α = 180°.
Отсюда следует, что α = 180° - 90° - 90° = 0°.
Таким образом, угол AMK равен 0°, что противоречит условию задачи. Следовательно, задача некорректна.
Что касается второй части задачи, где требуется найти площадь треугольника AMK, то без дополнительных данных невозможно определить значения сторон треугольника и, соответственно, его площадь.
