Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD и ВD. Докажите, что ∆ ACD ~ ∆ ABC.

15 мая 2025

Базы данных

Условие:

Решение:

Для доказательства подобия треугольников ∆ACD и ∆ABC, мы можем использовать две важные теоремы: теорему о пропорциональности высот и теорему о пропорциональности боковых сторон.

Теорема о пропорциональности высот гласит, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два малых треугольника, которые подобны большему треугольнику и друг другу.

Теорема о пропорциональности боковых сторон утверждает, что в прямоугольном треугольнике отношение длин каждой боковой стороны к гипотенузе одинаково для всех трех треугольников, образованных высотой.

Исходя из данных теорем, мы можем сделать следующие выводы:

Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине A, так как они являются прямоугольными треугольниками и имеют общую сторону AC.
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине C, так как они имеют общую сторону CD.
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине D, так как они имеют общую сторону AD и BD.
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют пропорциональные боковые стороны, так как AD и BD являются частями гипотенузы AB.

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ∆ACD и ∆ABC подобны друг другу и большему треугольнику ∆ABC.