Экзаменационный билет № Образец (для ЗФО), 2 семестр. 1. Найти интеграл \[ \int \frac{d x}{\sqrt{4+8 x-x^{2}}} \] 2. Найти полный дифференци...

15 мая 2025
Бухгалтерский учет и аудит

Условие:

Экзаменационный билет № Образец (для ЗФО), 2 семестр.

Найти интеграл
$\int \frac{d x}{\sqrt{4+8 x-x^{2}}}$
Найти полный дифференциал функции в точке $M(1 ; 1) z=\sqrt{x^{2}+3 y^{4}}$ .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $\quad y=16-x^{2} ; \quad y=0$ .
Найти общее и частное решение уравнения
$x y y^{\prime}+x^{2}-1=0, \quad y(1)=1 .$
Исследовать на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)}{2^{n}}$

Решение:

Для нахождения интеграла (\int \frac{dx}{\sqrt{4+8x-x^2}}) воспользуемся заменой переменной. Пусть (u = 4 + 8x - x^2), тогда (du = (8 - 2x)dx). Перепишем интеграл с учетом замены переменной:
$\int \frac{dx}{\sqrt{4+8x-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{du}{(8 - 2x)\sqrt{u}}$
Чтобы найти полный дифференциал функции (z = \sqrt{x^2 + 3y^4}) в точке (M(1, 1)), нужно найти частные производные по (x) и (y) и подставить значения точки (M):
$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3y^4}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{6y^3}{\sqrt{x^2 + 3y^4}}$
Подставляем значения точки (M(1, 1)):
$dz = \frac{1}{\sqrt{1 + 3}}dx + \frac{6}{\sqrt{1 + 3}}dy = \frac{1}{2}dx + \frac{3}{2}dy$
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (y = 16 - x^2) и (y = 0), нужно найти интеграл от (y = 0) до (y = 16 - x^2) по переменной (x):
$S = \int_{x_1}^{x_2} (16 - x^2)dx$
где (x_1) и (x_2) - точки пересечения графиков (y = 16 - x^2) и (y = 0). Для этого решаем уравнение (16 - x^2 = 0) и находим корни (x_1 = -4) и (x_2 = 4). Подставляем значения в интеграл: $ S = \int_{-4}^{4} (16 -...

Преимущества сервиса

Качество текста
Живой, внятный текст, который не стыдно сдать
Другие нейросети
Пишет размыто, без конкретики и смысла
Источники
Проверяет факты по реальным учебникам
Другие нейросети
Фантазирует на ходу и додумывает факты
Оформление по ГОСТу
Поможет оформить работу по ГОСТу
Другие нейросети
Не понимает, что такое ГОСТ, и оформляет как попало
Обоснование решения
Подробно объяснит решение по шагам
Другие нейросети
Не разбирает логику решения
Уточнения к задаче
Пояснит непонятное и предугадает вопросы преподавателя
Другие нейросети
Просто отвечает, не вникая, что реально тебе нужно узнать
Доступность
Никаких проблем с доступом из любой точки мира
Другие нейросети
То заблокан, то тормозит — стабильности ноль
Многозадачность
6+ инструментов для учебы в одном месте
Другие нейросети
Каждая задача — отдельный сервис

Экзаменационный билет № Образец (для ЗФО), 2 семестр. 1. Найти интеграл \[ \int \frac{d x}{\sqrt{4+8 x-x^{2}}} \] 2. Найти полный дифференци...

Условие:

Решение:

Похожие задачи

Воспользуйся поиском

Не ограничивайся готовыми решениями

Преимущества сервиса

Качество текста

Источники

Оформление по ГОСТу

Обоснование решения

Уточнения к задаче

Доступность

Многозадачность

Кэмп в Телеграме

AI помощники

Выбери предмет