Дано бинарное отношение R={(a,b) | a=4b} на множестве A={1,2,3,4,6}. Определить является ли оно рефлексивным, симметричным, транзитивным
Для определения свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности бинарного отношения R={(a,b) | a=4b} на множестве A={1,2,3,4,6}, нужно проверить выполнение соответствующих условий.
1. Рефлексивность:
Бинарное отношение R на множестве A является рефлексивным, если для каждого элемента a из A выполняется условие (a,a) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить рефлексивность, нужно проверить, выполняется ли условие (a,a) ∈ R для всех элементов a из A={1,2,3,4,6}.
Подставим каждый элемент из A в условие a=4b:
1=4*1, 2=4*0.5, 3=4*0.75, 4=4*1, 6=4*1.5.
Мы видим, что для некоторых элементов из A условие выполняется (например, для 1 и 4), а для других - нет (например, для 2, 3 и 6). Таким образом, бинарное отношение R не является рефлексивным.
2. Симметричность:
Бинарное отношение R на множестве A является симметричным, если для каждой пары элементов (a,b) из A выполняется условие (a,b) ∈ R, тогда и только тогда, когда (b,a) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить симметричность, нужно проверить, выполняется ли условие (a,b) ∈ R, тогда и только тогда, когда (b,a) ∈ R для всех пар элементов (a,b) из A.
Подставим каждую пару элементов из A в условие a=4b:
(1,1): 1=4*1, 1=4*0.25 - не выполняется.
(1,2): 1=4*2, 2=4*0.5 - не выполняется.
(1,3): 1=4*3, 3=4*0.75 - не выполняется.
(1,4): 1=4*4, 4=4*1 - выполняется.
(1,6): 1=4*6, 6=4*1.5 - не выполняется.
(2,1): 2=4*1, 1=4*0.25 - не выполняется.
(2,2): 2=4*2, 2=4*0.5 - не выполняется.
(2,3): 2=4*3, 3=4*0.75 - не выполняется.
(2,4): 2=4*4, 4=4*1 - не выполняется.
(2,6): 2=4*6, 6=4*1.5 - не выполняется.
(3,1): 3=4*1, 1=4*0.25 - не выполняется.
(3,2): 3=4*2, 2=4*0.5 - не выполняется.
(3,3): 3=4*3, 3=4*0.75 - не выполняется.
(3,4): 3=4*4, 4=4*1 - не выполняется.
(3,6): 3=4*6, 6=4*1.5 - не выполняется.
(4,1): 4=4*1, 1=4*0.25 - не выполняется.
(4,2): 4=4*2, 2=4*0.5 - не выполняется.
(4,3): 4=4*3, 3=4*0.75 - не выполняется.
(4,4): 4=4*4, 4=4*1 - выполняется.
(4,6): 4=4*6, 6=4*1.5 - не выполняется.
(6,1): 6=4*1, 1=4*0.25 - не выполняется.
(6,2): 6=4*2, 2=4*0.5 - не выполняется.
(6,3): 6=4*3, 3=4*0.75 - не выполняется.
(6,4): 6=4*4, 4=4*1 - не выполняется.
(6,6): 6=4*6, 6=4*1.5 - не выполняется.
Мы видим, что для некоторых пар элементов из A условие выполняется (например, для (1,4) и (4,1)), а для других - нет. Таким образом, бинарное отношение R не является симметричным.
3. Транзитивность:
Бинарное отношение R на множестве A является транзитивным, если для каждых трех элементов a, b, c из A выполняется условие, что если (a,b) ∈ R и (b,c) ∈ R, то (a,c) ∈ R.
В данном случае, чтобы проверить транзитивность, нужно проверить, выполняется ли условие, что если (a,b) ∈ R и (b,c) ∈ R, то (a,c) ∈ R для всех трех элементов a, b, c из A.
Подставим каждую тройку элементов из A в условие a=4b и b=4c:
(1,1,1): 1=4*1, 1=4*0.25, 1=4*0.0625 - не выполняется.
(1,1,2): 1=4*1, 1=4*0.25, 2=4*0.5 - не выполняется.
(1,1,3): 1=4*1, 1=4*0.25, 3=4*0.75 - не...
