Доход потребителя равен 72, цены товаров равны 9 и 4 соответственно. Функция полезности задана формулой: U = x 0,5 + y 0,5. Найти равновесны...

15 мая 2025

Технология продовольственных продуктов и товаров

Условие:

Доход потребителя равен 72, цены товаров равны 9 и 4 соответственно. Функция полезности задана формулой: U = x 0,5 + y 0,5. Найти равновесный объем потребления и максимальную полезность.

Решение:

Для нахождения равновесного объема потребления и максимальной полезности, мы должны найти оптимальные значения потребления товаров x и y, при которых потребитель достигает максимальной полезности, учитывая его доход и цены товаров.

Для начала, давайте определим бюджетное ограничение потребителя. У нас есть доход потребителя, равный 72, и цены товаров, равные 9 и 4 соответственно. Пусть x будет количество потребляемого товара x, а y - количество потребляемого товара y. Тогда бюджетное ограничение можно записать следующим образом:

9x + 4y = 72

Теперь мы можем перейти к определению максимальной полезности. Функция полезности дана в формуле U = x^0.5 + y^0.5. Наша задача - максимизировать эту функцию полезности.

Для решения этой задачи мы можем использовать метод Лагранжа. Для этого мы создаем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = x^0.5 + y^0.5 + λ(9x + 4y - 72)

где λ - множитель Лагранжа.

Далее, мы находим частные производные функции Лагранжа по x, y и λ и приравниваем их к нулю:

∂L/∂x = 0.5x^(-0.5) + 9λ = 0 ∂L/∂y = 0.5y^(-0.5) + 4λ = 0 ∂L/∂λ = 9x + 4y - 72 = 0

Решая эти уравнения, мы найдем значения x, y и λ.

После нахождения значений x и y, мы можем подставить их в функцию полезности U = x^0.5 + y^0.5, чтобы найти максимальную полезность.

Однако, для решения этой задачи нам необходимы конкретные значения дохода и цен товаров. Пожалуйста, предоставьте эти данные, чтобы я мог рассчитать равновесный объем потребления и максимальную полезность.