Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MH и наклонные MA и MB так, что ∠ MAH=30 ° , ∠ MBH =45° , а угол между проекциями наклонн...
Условие:
Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MH и наклонные MA
и MB так, что ∠ MAH=30 ° , ∠ MBH =45° , а угол между проекциями наклонных равен
90. Найдите косинус угла между данными наклонными, если MH=√ 6.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами треугольников.
Поскольку ∠MAH = 30° и ∠MBH = 45°, мы можем сказать, что треугольник AMH - прямоугольный треугольник. Также, поскольку угол между проекциями наклонных равен 90°, мы можем сказать, что треугольник AMB - прямоугольный треугольник.
Теперь мы можем найти длины сторон треугольников AMH и AMB.
Из условия задачи дано, что MH = √6. Поскольку треугольник AMH - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AM:
AM^2 = AH^2 + MH^2 AM^2 = (2MH)^2 + MH^2 AM^2 = 4MH^2 + MH^2 AM^2 = 5MH^2 AM = √(5MH^2) AM = √(5*6) AM = √30
Теперь мы можем найти длину стороны AB, используя теорему Пифагора для треугольника AMB:
AB^2 = AM^2 + MB^2 AB^2 = (√30)^2 + MB^2 AB^2 = 30 + MB^2
Так как ∠MBH = 45°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти MB:
MB = MH / cos(∠MBH) MB = √6 / cos(45°) MB = √6 / (√2 / 2) MB = √6 * (2 / √2) MB = √12 MB = 2√3
Теперь мы можем найти длину стороны AB:
AB^2 = 30 + (2√3)^2 AB^2 = 30 + 12 AB^2 = 42 AB = √42
Теперь мы можем найти косинус угла между наклонными наклонными MA и MB, используя формулу косинуса:
cos(∠AMB) = (AM^2 + MB^2 - AB^2) / (2 * AM * MB) cos(∠AMB) = (30 + 12 - 42) / (2 * √30 * 2√3) cos(∠AMB) = 0 / (2 * √30 * 2√3) cos(∠AMB) = 0
Таким образом, косинус угла между наклонными наклонными MA и MB равен 0.
