Вычислить выражения. используя определения и свойства скалярного и векторного произ-велении. a) (a-3b)(2a+b), б) |(a-3b)×(2a+b)l.
Условие:
Вычислить выражения. используя определения и свойства скалярного и векторного произ-велении. a) (a-3b)(2a+b), б) |(a-3b)×(2a+b)l.
Решение:
Для вычисления данных выражений, мы будем использовать определения и свойства скалярного и векторного произведения.
a) Для вычисления выражения (a-3b)(2a+b), мы можем использовать свойство распределительности скалярного произведения относительно сложения векторов.
(a-3b)(2a+b) = a(2a+b) - 3b(2a+b)
Теперь мы можем применить свойство распределительности скалярного произведения относительно сложения векторов:
= 2a^2 + ab - 6ab - 3b^2
= 2a^2 - 5ab - 3b^2
b) Для вычисления выражения |(a-3b)×(2a+b)|, мы будем использовать определение векторного произведения и его свойства.
|(a-3b)×(2a+b)| = |a-3b| * |2a+b| * sin(θ)
где θ - угол между векторами (a-3b) и (2a+b).
Для вычисления |a-3b| и |2a+b|, мы можем использовать определение длины вектора:
|a-3b| = sqrt((a-3b) • (a-3b))
|2a+b| = sqrt((2a+b) • (2a+b))
Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:
(a-3b) • (a-3b) = a^2 - 6ab + 9b^2
(2a+b) • (2a+b) = 4a^2 + 4ab + b^2
Теперь мы можем вычислить длины векторов:
|a-3b| = sqrt(a^2 - 6ab + 9b^2)
|2a+b| = sqrt(4a^2 + 4ab + b^2)
Теперь мы можем вычислить значение sin(θ) с помощью формулы:
sin(θ) = sqrt(1 - cos^2(θ))
где cos(θ) = ((a-3b) • (2a+b)) / (|a-3b| * |2a+b|)
Теперь мы можем вычислить значение sin(θ) и подставить его в исходное выражение:
|(a-3b)×(2a+b)| = |a-3b| * |2a+b| * sin(θ)
