Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD и ВD. Докажите, что ∆ ACD ~ ∆ ABC.
Условие:
Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части АD и ВD. Докажите, что ∆ ACD ~ ∆ ABC.
Решение:
Для доказательства подобия треугольников ∆ACD и ∆ABC, мы можем использовать две важные теоремы: теорему о пропорциональности высот и теорему о пропорциональности боковых сторон.
Теорема о пропорциональности высот гласит, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два малых треугольника, которые подобны большему треугольнику и друг другу.
Теорема о пропорциональности боковых сторон утверждает, что в прямоугольном треугольнике отношение длин каждой боковой стороны к гипотенузе одинаково для всех трех треугольников, образованных высотой.
Исходя из данных теорем, мы можем сделать следующие выводы:
-
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине A, так как они являются прямоугольными треугольниками и имеют общую сторону AC.
-
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине C, так как они имеют общую сторону CD.
-
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют общий угол при вершине D, так как они имеют общую сторону AD и BD.
-
Треугольники ∆ACD и ∆ABC имеют пропорциональные боковые стороны, так как AD и BD являются частями гипотенузы AB.
Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ∆ACD и ∆ABC подобны друг другу и большему треугольнику ∆ABC.
