Экзаменационный билет № Образец (для ЗФО), 2 семестр. 1. Найти интеграл \[ \int \frac{d x}{\sqrt{4+8 x-x^{2}}} \] 2. Найти полный дифференци...

15 мая 2025

Бухгалтерский учет и аудит

Условие:

Экзаменационный билет № Образец (для ЗФО), 2 семестр.

Найти интеграл
$\int \frac{d x}{\sqrt{4+8 x-x^{2}}}$
Найти полный дифференциал функции в точке $M(1 ; 1) z=\sqrt{x^{2}+3 y^{4}}$ .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $\quad y=16-x^{2} ; \quad y=0$ .
Найти общее и частное решение уравнения
$x y y^{\prime}+x^{2}-1=0, \quad y(1)=1 .$
Исследовать на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)}{2^{n}}$

Решение:

Для нахождения интеграла (\int \frac{dx}{\sqrt{4+8x-x^2}}) воспользуемся заменой переменной. Пусть (u = 4 + 8x - x^2), тогда (du = (8 - 2x)dx). Перепишем интеграл с учетом замены переменной:
$\int \frac{dx}{\sqrt{4+8x-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{du}{(8 - 2x)\sqrt{u}}$
Чтобы найти полный дифференциал функции (z = \sqrt{x^2 + 3y^4}) в точке (M(1, 1)), нужно найти частные производные по (x) и (y) и подставить значения точки (M):
$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3y^4}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{6y^3}{\sqrt{x^2 + 3y^4}}$
Подставляем значения точки (M(1, 1)):
$dz = \frac{1}{\sqrt{1 + 3}}dx + \frac{6}{\sqrt{1 + 3}}dy = \frac{1}{2}dx + \frac{3}{2}dy$
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (y = 16 - x^2) и (y = 0), нужно найти интеграл от (y = 0) до (y = 16 - x^2) по переменной (x):
$S = \int_{x_1}^{x_2} (16 - x^2)dx$
где (x_1) и (x_2) - точки пересечения графиков (y = 16 - x^2) и (y = 0). Для этого решаем уравнение (16 - x^2 = 0) и находим корни (x_1 = -4) и (x_2 = 4). Подставляем значения в интеграл:
$S = \int_{-4}^{4} (16 - x^2)dx$
Чтобы найти общее и частное решение уравнения (xyy' + x^2 - 1 = 0) с начальным условием (y(1) = 1), воспользуемся методом разделения переменных. Перепишем уравнение в виде:
$xyy' = 1 - x^2$
Разделим обе части на (y(1 - x^2)):
$\frac{ydy}{y(1 - x^2)} = \frac{dx}{x}$
Интегрируем обе части:
$\int \frac{ydy}{y(1 - x^2)} = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|y| - \ln|1 - x^2| = \ln|x| + C$
где (C) - постоянная интегрирования. Подставляем начальное условие (y(1) = 1):
$\ln|1| - \ln|1 - 1^2| = \ln|1| + C$

$0 - \ln|0| = 0 + C$

$C = -\infty$
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
$\ln|y| - \ln|1 - x^2| = \ln|x| - \infty$

$\ln|y| - \ln|1 - x^2| = \ln|x|$

$\ln\left|\frac{y}{1 - x^2}\right| = \ln|x|$

$\frac{y}{1 - x^2} = x$

$y = x(1 - x^2)$
Чтобы исследовать сходимость ряда (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{2^n}), воспользуемся признаком Даламбера. Вычислим предел отношения соседних членов ряда:
$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{n+2}{2^{n+1}}}{\frac{n+1}{2^n}}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+2}{2(n+1)}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2n+2} = \frac{1}{2}$
Так как предел отношения соседних членов равен (\frac{1}{2}), который меньше 1, то ряд сходится.