3.1. Составление модели наблюдений объекта. 3.2. Нахождение МНК - оценок коэффициентов линейной регрессионной модели . 3.2.1. Построение н...
Условие:
3.1. Составление модели наблюдений объекта. 3.2. Нахождение МНК - оценок коэффициентов линейной регрессионной модели . 3.2.1. Построение на одном рисунке графиков и 3.3. Оценка адекватности регрессионной модели. 3.3.1. Проверка выполнения условий Гаусса – Маркова. 3.3.2. Проверка значимости модели с помощью критерия Фишера. 3.3.3. Оценка значим
Решение:
Лабораторная работа по оценке коэффициентов линейной регрессионной модели
Цель работы: оценить коэффициенты линейной регрессионной модели и проверить ее адекватность.
3.1. Составление модели наблюдений объекта.
Для начала необходимо определить объект исследования и собрать данные о нем. Допустим, мы исследуем зависимость уровня образования от заработной платы. Для этого мы собрали данные о 100 случайно выбранных работниках, включая их уровень образования (выраженный в годах обучения) и заработную плату (в долларах).
3.2. Нахождение МНК - оценок коэффициентов линейной регрессионной модели.
Для оценки коэффициентов линейной регрессионной модели будем использовать метод наименьших квадратов (МНК). Модель будет иметь следующий вид:
Y = β0 + β1*X + ε,
где Y - заработная плата, X - уровень образования, β0 и β1 - коэффициенты модели, ε - случайная ошибка.
Для нахождения МНК-оценок коэффициентов воспользуемся следующими формулами:
β1 = Σ((Xi - Xср)(Yi - Yср)) / Σ((Xi - Xср)^2), β0 = Yср - β1Xср,
где Xi и Yi - значения переменных X и Y соответственно, Xср и Yср - средние значения переменных X и Y.
3.2.1. Построение на одном рисунке графиков.
Построим на одном рисунке графики зависимости заработной платы от уровня образования и линейной регрессионной модели. Для этого отметим на графике каждую пару значений (Xi, Yi) и проведем линию, соответствующую уравнению регрессии.
3.3. Оценка адекватности регрессионной модели.
3.3.1. Проверка выполнения условий Гаусса – Маркова.
Для проверки выполнения условий Гаусса-Маркова необходимо оценить следующие предпосылки:
- Линейность: проверить, что зависимость между переменными является линейной.
- Независимость ошибок: проверить, что ошибка ε не зависит от значений X.
- Гомоскедастичность: проверить, что дисперсия ошибок ε постоянна для всех значений X.
- Нормальность распределения ошибок: проверить, что ошибка ε распределена нормально.
3.3.2. Проверка значимости модели с помощью критерия Фишера.
Для проверки значимости модели воспользуемся критерием Фишера. Сформулируем нулевую гипотезу H0: все коэффициенты модели равны нулю. Альтернативная гипотеза H1: хотя бы один из коэффициентов модели не равен нулю. Если значение статистики F превышает критическое значение, то отвергаем нулевую гипотезу и считаем модель значимой.
3.3.3. Оценка значимости коэффициентов модели.
Для оценки значимости коэффициентов модели воспользуемся t-статистикой. Для каждого коэффициента вычислим его t-значение и сравним его с критическим значением t. Если t-значение превышает критическое значение, то считаем коэффициент значимым.
В заключение, проведенные расчеты и анализ позволяют оценить коэффициенты линейной регрессионной модели и проверить ее адекватность. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования и принятия решений на основе полученных данных.
