Для оценки среднего дохода жителей города вычисляют средний доход некоторого количества случайно выбранных жителей. Используя неравенство Че...
Условие:
Решение:
Для оценки минимального количества выбранных жителей, необходимых для достижения заданной точности, мы можем использовать неравенство Чебышёва.
Неравенство Чебышёва гласит, что для любого случайного события X с конечным средним значением μ и дисперсией σ^2, вероятность того, что X отклоняется от своего среднего значения на расстояние, большее чем k стандартных отклонений, не превышает 1/k^2.
В данном случае, мы хотим, чтобы разница между выборочным средним доходом и истинным средним доходом не превышала 1000 рублей с вероятностью не менее 0.99. Таким образом, мы можем записать неравенство Чебышёва следующим образом:
P(|X - μ| < 1000) ≥ 0.99
где X - выборочное среднее дохода, μ - истинное среднее дохода.
Также известно, что среднеквадратичное отклонение дохода не превышает 5000 рублей, то есть σ = 5000.
Используя неравенство Чебышёва, мы можем записать:
P(|X - μ| < 1000) ≥ 1 - (σ^2 / k^2)
Подставляя известные значения, получаем:
0.99 ≥ 1 - (5000^2 / k^2)
Решая это неравенство относительно k, получаем:
(5000^2 / k^2) ≥ 0.01
k^2 ≥ (5000^2 / 0.01)
k^2 ≥ 5000^2 * 100
k^2 ≥ 250000000
k ≥ √250000000
k ≥ 15811.39
Таким образом, минимальное количество выбранных жителей, необходимых для того, чтобы с вероятностью не менее 0.99 полученное значение отличалось от истинного среднего дохода не более чем на 1000 рублей, составляет около 15812 человек.
