имеется согласованная выборка двух случайных величин x и y (0;0);(0;1);(0;2);(1;2) найти оценку коэфициента кореляция x и y
Условие:
Решение:
Для оценки коэффициента корреляции между двумя случайными величинами x и y, можно использовать формулу выборочного коэффициента корреляции Пирсона.
Выборочный коэффициент корреляции Пирсона (r) вычисляется по следующей формуле:
r = (Σ((xi - x̄)(yi - ȳ))) / sqrt(Σ((xi - x̄)^2) * Σ((yi - ȳ)^2))
где:
- xi и yi - значения случайных величин x и y соответственно,
- x̄ и ȳ - выборочные средние значения x и y соответственно,
- Σ - сумма по всем значениям в выборке.
Для данной выборки, значения x и y следующие: x: 0, 0, 0, 1 y: 0, 1, 2, 2
Вычислим выборочные средние значения x̄ и ȳ: x̄ = (0 + 0 + 0 + 1) / 4 = 0.25 ȳ = (0 + 1 + 2 + 2) / 4 = 1.25
Теперь вычислим числитель и знаменатель формулы выборочного коэффициента корреляции Пирсона:
Числитель: Σ((xi - x̄)(yi - ȳ)) = (0 - 0.25)(0 - 1.25) + (0 - 0.25)(1 - 1.25) + (0 - 0.25)(2 - 1.25) + (1 - 0.25)(2 - 1.25) = (-0.25)(-1.25) + (-0.25)(-0.25) + (-0.25)(0.75) + (0.75)(0.75) = 0.3125 + 0.0625 - 0.1875 + 0.5625 = 0.75
Знаменатель: sqrt(Σ((xi - x̄)^2) * Σ((yi - ȳ)^2)) = sqrt((0 - 0.25)^2 + (0 - 0.25)^2 + (0 - 0.25)^2 + (1 - 0.25)^2) * ((0 - 1.25)^2 + (1 - 1.25)^2 + (2 - 1.25)^2 + (2 - 1.25)^2)) = sqrt(0.0625 + 0.0625 + 0.0625 + 0.5625) * (1.5625 + 0.0625 + 0.5625 + 0.5625) = sqrt(0.75) * 2.75 = 0.866 * 2.75 = 2.3815
Теперь, подставим значения числителя и знаменателя в формулу выборочного коэффициента корреляции Пирсона:
r = 0.75 / 2.3815 ≈ 0.314
Таким образом, оценка коэффициента корреляции между x и y для данной выборки составляет около 0.314.