\[ R_{\hat{\theta}_{n}}(\theta) = \mathrm{D} \hat{\theta}_{n} + \left(\mathrm{E} \hat{\theta}_{n} - \theta\right)^{2} \] Пусть \( \frac{\le...

15 мая 2025

Ценообразование и оценка бизнеса

Условие:

R_{\hat{\theta}_{n}}(\theta) = \mathrm{D} \hat{\theta}_{n} + \left(\mathrm{E} \hat{\theta}_{n} - \theta\right)^{2}

Пусть $\frac{\left(\mathrm{E} \xi_{1}\right)^{2}}{\mathrm{D} \xi_{1}}=2$ . Будем искать оценку $\hat{\theta}_{n}$ для $\theta=\mathrm{E} \xi_{1}$ в виде $\mu

Решение:

Для нахождения оценки $\hat{\theta}_{n}$ для $\theta = \mathrm{E} \xi_{1}$ в виде $\mu$ , мы можем использовать метод моментов.

Метод моментов основан на равенстве моментов выборочной функции распределения и теоретической функции распределения. В данном случае, мы хотим, чтобы выборочное среднее $\hat{\theta}_{n}$ равнялось теоретическому среднему $\mathrm{E} \xi_{1}$ .

Из условия дано, что $\frac{\left(\mathrm{E} \xi_{1}\right)^{2}}{\mathrm{D} \xi_{1}} = 2$ . Мы можем использовать это равенство для нахождения оценки $\mu$ .

Используя определение выборочного среднего, $\hat{\theta}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \xi_{i}$ , где $\xi_{i}$ - независимые и одинаково распределенные случайные величины, мы можем записать:

\frac{\left(\mathrm{E} \hat{\theta}_{n}\right)^{2}}{\mathrm{D} \hat{\theta}_{n}} = 2

\frac{\left(\mathrm{E} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \xi_{i}\right)\right)^{2}}{\mathrm{D} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \xi_{i}\right)} = 2

\frac{\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{E} \xi_{i}\right)^{2}}{\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{D} \xi_{i}} = 2

Так как все $\xi_{i}$ имеют одинаковое распределение, мы можем записать $\mathrm{E} \xi_{i} = \mathrm{E} \xi_{1}$ и $\mathrm{D} \xi_{i} = \mathrm{D} \xi_{1}$ . Тогда: