В файле записано число 2023!. Две компьютерных программы по очереди вычитают из него некоторые числа, имеющие не более 23 различных простых делителей (при этом совпадающие простые делители считаются за один), не превышающих записанное в файле число. Выигрывает программа, которая получит 0. Какая программа выиграет при правильной игре?
Для решения этой задачи, нам нужно определить, какая программа имеет выигрышную стратегию при правильной игре.
Для начала, давайте рассмотрим число 2023!. Это число очень большое, и его точное значение сложно определить без использования специальных алгоритмов. Однако, мы можем сделать некоторые предположения и оценки.
Первое, что мы можем заметить, это то, что число 2023! имеет много простых делителей. Мы можем использовать формулу для количества простых делителей факториала числа n, которая выглядит следующим образом:
p(n) = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ...
Где [x] обозначает наибольшее целое число, не превышающее x, а p - простое число.
Используя эту формулу, мы можем оценить количество простых делителей числа 2023!. Однако, для упрощения вычислений, давайте оценим количество простых делителей числа 2023! с помощью неравенства Бертрана-Чебышёва, которое гласит, что для любого n > 1, существует простое число p такое, что n < p < 2n.
Применяя это неравенство к числу 2023!, мы можем сделать вывод, что количество простых делителей числа 2023! будет примерно равно 2023/2 = 1011.
Теперь, когда у нас есть оценка количества простых делителей числа 2023!, мы можем перейти к рассмотрению стратегий программ.
Предположим, что первая программа выбирает число, которое имеет не более 23 различных простых делителей и не превышает 2023!. Вторая программа также выбирает число с такими же условиями.
Теперь, давайте рассмотрим возможные ходы первой программы. Она может выбрать число, которое имеет 23 простых делителя и не превышает 2023!. Вторая программа может выбрать число, которое имеет 23 простых делителя и не превышает выбранное первой программой число.
Таким образом, каждая программа может выбрать число с 23 простыми делителями, и такой выбор будет продолжаться до тех пор, пока не останется чисел с 23 простыми делителями, не превышающих 2023!.
Однако, учитывая оценку количества простых делителей числа 2023!, мы можем сделать вывод, что таких чисел будет недостаточно для продолжения игры. То есть, на каком-то этапе одна из программ не сможет выбрать число с 23 простыми делителями, и это будет означать, что она проиграет.
Таким образом, в данной игре выигрышной стратегией будет выбор первой программы, так как она сможет выбрать число с 23 простыми делителями раньше второй программы и выиграть игру.
