В файле записано число 2023!. Две компьютерных программы по очереди вычитают из него некоторые числа, имеющие не более 23 различных простых ...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи, нам нужно определить, какая программа имеет выигрышную стратегию при правильной игре.
Для начала, давайте рассмотрим число 2023!. Это число очень большое, и его точное значение сложно определить без использования специальных алгоритмов. Однако, мы можем сделать некоторые предположения и оценки.
Первое, что мы можем заметить, это то, что число 2023! имеет много простых делителей. Мы можем использовать формулу для количества простых делителей факториала числа n, которая выглядит следующим образом:
p(n) = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ...
Где [x] обозначает наибольшее целое число, не превышающее x, а p - простое число.
Используя эту формулу, мы можем оценить количество простых делителей числа 2023!. Однако, для упрощения вычислений, давайте оценим количество простых делителей числа 2023! с помощью неравенства Бертрана-Чебышёва, которое гласит, что для любого n > 1, существует простое число p такое, что n < p < 2n.
Применяя это неравенство к числу 2023!, мы можем сделать вывод, что количество простых делителей числа 2023! будет примерно равно 2023/2 = 1011.
Теперь, когда у нас есть оценка количества простых делителей числа 2023!, мы можем перейти к рассмотрению стратегий программ.
Предположим, что первая программа выбирает число, которое имеет не более 23 различных простых делителей и не превышает 2023!. Вторая программа также выбирает число с такими же условиями.
Теперь, давайте рассмотрим возможные ходы первой программы. Она может выбрать число, которое имеет 23 простых делителя и не превышает 2023!. Вторая программа может выбрать число, которое имеет 23 простых делителя и не превышает выбранное первой программой число.
Таким образом, каждая программа может выбрать число с 23 простыми делителями, и такой выбор будет продолжаться до тех пор, пока не останется чисел с 23 простыми делителями, не превышающих 2023!.
Однако, учитывая оценку количества простых делителей числа 2023!, мы можем сделать вывод, что таких чисел будет недостаточно для продолжения игры. То есть, на каком-то этапе одна из программ не сможет выбрать число с 23 простыми делителями, и это будет означать, что она проиграет.
Таким образом, в данной игре выигрышной стратегией будет выбор первой программы, так как она сможет выбрать число с 23 простыми делителями раньше второй программы и выиграть игру.