Биссектрисы AI и CI пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1, C1 соответственно. Описанная окружность треугольника AIC1 ...
Условие:
Решение:
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством углов вписанных в окружность.
Поскольку точка A1 лежит на биссектрисе угла A, она делит этот угол на два равных угла. Таким образом, угол A1AC1 равен углу A1IC1.
Также, поскольку точка C1 лежит на биссектрисе угла C, угол C1CA0 равен углу C1IA0.
Так как угол A1IC1 и угол C1IA0 являются вертикальными углами, они равны между собой.
Таким образом, у нас есть две пары равных углов: A1AC1 = A1IC1 и C1CA0 = C1IA0.
Из этого следует, что треугольники A1AC1 и A1IC1 равны по двум углам, а треугольники C1CA0 и C1IA0 равны по двум углам.
Следовательно, треугольники A1AC1 и A1IC1 подобны, а треугольники C1CA0 и C1IA0 также подобны.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и A0C0C.
Углы ABC и A0C0C являются вертикальными углами и равны между собой.
Также, углы BAC и C0A0C являются соответственными углами подобных треугольников A1AC1 и A1IC1, а углы ACB и C0CA0 являются соответственными углами подобных треугольников C1CA0 и C1IA0.
Таким образом, треугольники ABC и A0C0C подобны.
Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как сторона AB является общей для обоих треугольников, то отношение длин сторон AB и A0C0 должно быть равно отношению длин сторон AC и C0C.
То есть, AB/A0C0 = AC/C0C.
Таким образом, точки A0, A1, C0 и C1 лежат на одной прямой, так как их отношения длин сторон равны.
