Четырёхугольник ABCD является трапецией диагональ AC и BD пересекаются в точке O докажите что S OBC:S AOB=OC:OA
Условие:
Четырёхугольник ABCD является трапецией диагональ AC и BD пересекаются в точке O докажите что S OBC:S AOB=OC:OA
Решение:
Для начала, давайте обратимся к определению площади трапеции. Площадь трапеции можно выразить как половину произведения суммы ее параллельных сторон на высоту, опущенную на основание.
Пусть AB и CD являются параллельными сторонами трапеции ABCD, а h - высота, опущенная на основание AD.
Тогда площадь трапеции ABCD равна: S_ABCD = (AB + CD) * h / 2.
Теперь рассмотрим треугольники AOB и COB. Они имеют общую высоту h и основания OA и OC соответственно.
Площадь треугольника AOB равна: S_AOB = OA * h / 2.
Площадь треугольника COB равна: S_OBC = OC * h / 2.
Так как треугольники AOB и COB имеют одну общую высоту и разные основания, то отношение их площадей равно отношению их оснований:
S_OBC / S_AOB = (OC * h / 2) / (OA * h / 2) = OC / OA.
Таким образом, мы доказали, что отношение площадей треугольников OBC и AOB равно отношению их оснований OC и OA:
S_OBC / S_AOB = OC / OA.
Таким образом, утверждение доказано.