Решение задачи
Дан треугольник ABC. Пусть I — центр его вписанной окружности, P — такая точка на стороне AB, что угол PIB прямой, Q — точка, симметрична...
Условие:
Дан треугольник ABC. Пусть I — центр его вписанной окружности, P — такая точка на стороне AB, что угол PIB прямой, Q — точка, симметричная точке I относительно вершины A. Докажите, что точки C, I, P, Q лежат на одной окружности.
Решение:
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами вписанных углов и симметрии.
Из условия задачи известно, что угол PIB прямой. Также, известно, что точка Q симметрична точке I относительно вершины A.
Рассмотрим треугольник BPI. Угол PIB прямой, поэтому угол PBI равен половине угла BPI. Также, угол BPI является вписанным углом, поэтому угол BCI равен половине угла BPI.
Таким образом, угол BCI равен половине угла BPI, а угол BPI равен углу PBI. Значит, угол BCI равен углу PBI.
Рассмотрим треугольник BQI. Так как точка Q симметрична точке I относительно вершины A, то угол BQI равен углу PBI.
Таким образом, угол BCI равен углу PBI, а угол BQI равен углу PBI. Значит, угол BCI равен углу BQI.
Из равенства углов BCI и BQI следует, что треугольники BCI и BQI подобны.
Так как треугольники BCI и BQI подобны, то отношение длин сторон BC и BQ равно отношению длин сторон BI и BI. Но так как BI равно, то отношение длин сторон BC и BQ равно 1.
Таким образом, сторона BC равна стороне BQ.
Аналогично можно показать, что сторона AC равна стороне AQ.
Таким образом, сторона BC равна стороне BQ, а сторона AC равна стороне AQ. Значит, треугольники BQC и BQA равнобедренные.
Так как треугольники BQC и BQA равнобедренные, то угол BQC равен углу BQA.
Таким образом, угол BQC равен углу BQA, а угол BQA равен углу CBA.
Из равенства углов BQC и CBA следует, что треугольники BQC и CBA подобны.
Так как треугольники BQC и CBA подобны, то отношение длин сторон BC и CA равно отношению длин сторон BQ и BA. Но так как BQ равно, то отношение длин сторон BC и CA равно 1.
Таким образом, сторона BC равна стороне CA.
Из равенства сторон BC и CA следует, что треугольник BCA является равносторонним.
Так как треугольник BCA является равносторонним, то центр его вписанной окружности I совпадает с центром окружности, описанной вокруг треугольника BCA.
Также, точка P лежит на стороне AB, а точка Q симметрична точке I относительно вершины A. Значит, точки C, I, P, Q лежат на одной окружности.
Таким образом, доказано, что точки C, I, P, Q лежат на одной окружности.
Похожие работы
Попробуй и другие функции
Решения по другим предметам
А
Б
В
М
П
С
Т
Э