Дано: ΔABC; EF//AC; Доказать: AC · BF = BC · EF без теоремы талеса
Условие:
Дано: ΔABC; EF//AC; Доказать: AC · BF = BC · EF без теоремы талеса
Решение:
Для доказательства данного утверждения без использования теоремы Талеса, мы можем воспользоваться свойствами параллельных линий и подобия треугольников.
Из условия задачи, мы знаем, что EF параллельна AC. Это означает, что треугольники ABC и AEF подобны.
Теперь рассмотрим отношение сторон в этих треугольниках. По определению подобия треугольников, отношение длин соответствующих сторон равно. То есть:
AB/AE = BC/EF = AC/AF
Мы хотим доказать, что AC · BF = BC · EF. Для этого нам нужно выразить AC и BC через AE и EF.
Из первого равенства AB/AE = BC/EF, мы можем выразить BC через AB и EF:
BC = (AB · EF) / AE
Теперь подставим это выражение для BC во второе равенство AC/AF = BC/EF:
AC/AF = ((AB · EF) / AE) / EF
Упростим это выражение:
AC/AF = AB / AE
Теперь выразим AC через AB и AE:
AC = (AB · AF) / AE
Теперь у нас есть выражения для AC и BC через AB, AE и EF. Подставим их в уравнение AC · BF = BC · EF:
((AB · AF) / AE) · BF = ((AB · EF) / AE) · EF
Упростим это выражение:
AB · AF · BF = AB · EF^2
Теперь сократим AB с обеих сторон:
AF · BF = EF^2
Таким образом, мы доказали, что AC · BF = BC · EF без использования теоремы Талеса.