...
...
...
Решение задачи на тему: «Исследовать на сходимость ряд: \sum_{n=1}^{\infty} n^4\left(\frac{2 n}{3 n+5}\ri...»

Решение задачи

Исследовать на сходимость ряд: \sum_{n=1}^{\infty} n^4\left(\frac{2 n}{3 n+5}\right)^n

15 мая 2025

Международные отношения

Условие:

Для исследования на сходимость данного ряда, мы можем использовать тест Даламбера или тест корня.

Для начала, применим тест Даламбера. Рассмотрим отношение соседних членов ряда:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^4\left(\frac{2(n+1)}{3(n+1)+5}\right)^{n+1}}{n^4\left(\frac{2n}{3n+5}\right)^n}

Упростим это выражение:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^4}{n^4} \cdot \frac{\left(\frac{2(n+1)}{3(n+1)+5}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2n}{3n+5}\right)^n}

Далее, упростим дробь:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^4 \cdot \frac{\left(\frac{2(n+1)}{3(n+1)+5}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2n}{3n+5}\right)^n}

Для удобства, обозначим:

\frac{n+1}{n} = \frac{A}{B}

Тогда:

A = n+1, \quad B = n

Теперь, заменим в исходном выражении:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{A}{B}\right)^4 \cdot \frac{\left(\frac{2A}{3A+5}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2B}{3B+5}\right)^n}

Упростим дробь:

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{A}{B}\right)^4 \cdot \left(\frac{2A}{3A+5}\right) \cdot \left(\frac{3B+5}{2B}\right)

Теперь, найдем предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности:

\lim_{{n \to \infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{A}{B}\right)^4 \cdot \left(\frac{2A}{3A+5}\right) \cdot \left(\frac{3B+5}{2B}\right)

= \left(\frac{A}{B}\right)^4 \cdot \left(\frac{2A}{3A}\right) \cdot \left(\frac{3B}{2B}\right)

= \left(\frac{A}{B}\right)^4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}

= \left(\frac{A}{B}\right)^4

Таким образом, мы получили, что предел отношения соседних членов ряда равен (\left(\frac{A}{B}\right)^4).

Теперь, рассмотрим значения A и B при n стремящемся к бесконечности:

\lim_{{n \to \infty}} \frac{A}{B} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n+1}{n} = 1

Таким образом, мы получили, что предел отношения соседних членов ряда равен 1.

Исходя из теста Даламбера, если предел отношения соседних членов ряда равен 1, то тест не дает определенного результата.

Теперь, давайте применим тест корня. Рассмотрим корень n-ной степени от модуля общего члена ряда:

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{n^4\left(\frac{2n}{3n+5}\right)^n}

Упростим это выражение:

\sqrt[n]{|a_n|} = n\left(\frac{2n}{3n+5}\right)

Теперь, найдем предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности:

\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{{n \to \infty}} n\left(\frac{2n}{3n+5}\right)

= \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n^2}{3n+5}

= \lim_{{n \to \infty}} \frac{2n}{3}

= \infty

Таким образом, мы получили, что предел корня n-ной степени от модуля общего члена ряда равен бесконечности.

Исходя из теста корня, если предел корня n-ной степени от модуля общего члена ряда больше 1, то ряд расходится.

Таким образом, исходный ряд (\sum_{n=1}^{\infty} n^4\left(\frac{2 n}{3 n+5}\right)^n) расходится.