В треугольнике АВС, имеющему площадь 56, провели высоту AL, равную 7. Во сколько раз площадь круга, описанного около треугольника ABL больше площади круга, вписанного в треугольник АСL, если АС=√53.
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулы для площади треугольника и площади круга.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1/2) * a * h,
где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.
Площадь круга можно вычислить по формуле:
S = π * r^2,
где S - площадь круга, π - число Пи (приближенно равно 3.14), r - радиус круга.
Для начала, найдем длину основания треугольника АВС. Из условия задачи известно, что АС = √53. Так как треугольник АВС - прямоугольный, то по теореме Пифагора можно найти длину основания:
AB^2 + BC^2 = AC^2,
AB^2 + 7^2 = (√53)^2,
AB^2 + 49 = 53,
AB^2 = 53 - 49,
AB^2 = 4,
AB = 2.
Теперь, найдем площадь треугольника АВС:
S_ABC = (1/2) * AB * AC,
S_ABC = (1/2) * 2 * √53,
S_ABC = √53.
Далее, найдем площадь треугольника АСL:
S_ACL = (1/2) * AC * AL,
S_ACL = (1/2) * √53 * 7,
S_ACL = (7/2) * √53.
Теперь, найдем радиусы описанного и вписанного кругов. Радиус описанного круга равен половине длины гипотенузы треугольника АВС:
r_оп = (1/2) * AC,
r_оп = (1/2) * √53,
r_оп = √53 / 2.
Радиус вписанного круга равен половине длины основания треугольника АСL:
r_вп = (1/2) * AL,
r_вп = (1/2) * 7,
r_вп = 7 / 2.
Теперь, найдем площади описанного и вписанного кругов:
S_оп = π * r_оп^2,
S_вп = π * r_вп^2.
Итак, чтобы найти во сколько раз площадь круга, описанного около треугольника ABL, больше площади круга, вписанного в треугольник АСL, нужно вычислить отношение площадей:
S_оп / S_вп = (π * r_оп^2) / (π * r_вп^2),
S_оп / S_вп = (r_оп^2) / (r_вп^2).
Подставим значения радиусов:
S_оп / S_вп = (√53 / 2)^2 / (7 / 2)^2,
S_оп / S_вп = (53 / 4) / (49 / 4),
S_оп / S_вп = 53 / 49,
S_оп / S_вп = 1.0816.
Таким образом, площадь круга, описанного около треугольника ABL, примерно на 1.0816 раза больше площади круга, вписанного в треугольник АСL.
