Один из углов треугольника равен 60° , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.
Условие:
Один из углов треугольника равен 60° , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пусть гипотенуза треугольника равна "с", а меньший катет равен "а". Тогда, согласно теореме Пифагора, у нас есть следующее уравнение:
с^2 = а^2 + (а/2)^2
Так как угол между гипотенузой и меньшим катетом равен 60°, то мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:
с = а/sin(60°)
Теперь мы можем объединить оба уравнения и решить их относительно гипотенузы "с":
с^2 = а^2 + (а/2)^2 с = а/sin(60°)
Подставим второе уравнение в первое:
(а/sin(60°))^2 = а^2 + (а/2)^2
Раскроем скобки и упростим уравнение:
а^2 / (sin(60°))^2 = а^2 + а^2/4
Умножим обе части уравнения на (sin(60°))^2:
а^2 = а^2 * (sin(60°))^2 + а^2/4 * (sin(60°))^2
Упростим уравнение:
1 = (sin(60°))^2 + 1/4 * (sin(60°))^2
1 = 3/4 + 1/4 * (sin(60°))^2
1/4 * (sin(60°))^2 = 1/4
(sin(60°))^2 = 1
sin(60°) = 1
Таким образом, мы получаем, что sin(60°) = 1. Это означает, что гипотенуза "с" равна меньшему катету "а".
Так как сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см, то мы можем записать следующее уравнение:
с + а = 42
Так как гипотенуза "с" равна меньшему катету "а", мы можем записать уравнение в следующем виде:
2а = 42
Решим это уравнение:
а = 42/2 а = 21
Таким образом, меньший катет равен 21 см, а гипотенуза также равна 21 см.
