определить свойства бинарного отношения R: xRy <=> (x-y)(x-4)(y-4)<=0 на множестве A={0,2,4,6,8}
Условие:
определить свойства бинарного отношения R: xRy <=> (x-y)(x-4)(y-4)<=0 на множестве A={0,2,4,6,8}
Решение:
Для определения свойств бинарного отношения R на множестве A={0,2,4,6,8}, нужно рассмотреть все возможные пары элементов из этого множества и проверить выполнение условия (x-y)(x-4)(y-4)<=0.
Пара (0,0): (0-0)(0-4)(0-4) = 0*(-4)*(-4) = 0. Условие не выполняется.
Пара (0,2): (0-2)(0-4)(2-4) = (-2)(-4)(-2) = -16. Условие выполняется.
Пара (0,4): (0-4)(0-4)(4-4) = (-4)*(-4)*0 = 0. Условие не выполняется.
Пара (0,6): (0-6)(0-4)(6-4) = (-6)*(-4)*2 = 48. Условие выполняется.
Пара (0,8): (0-8)(0-4)(8-4) = (-8)*(-4)*4 = 128. Условие выполняется.
Пара (2,0): (2-0)(2-4)(0-4) = 2*(-2)*(-4) = 16. Условие выполняется.
Пара (2,2): (2-2)(2-4)(2-4) = 0*(-2)*(-2) = 0. Условие не выполняется.
Пара (2,4): (2-4)(2-4)(4-4) = (-2)*(-2)*0 = 0. Условие не выполняется.
Пара (2,6): (2-6)(2-4)(6-4) = (-4)*(-2)*2 = 16. Условие выполняется.
Пара (2,8): (2-8)(2-4)(8-4) = (-6)*(-2)*4 = 48. Условие выполняется.
Пара (4,0): (4-0)(4-4)(0-4) = 40(-4) = 0. Условие не выполняется.
Пара (4,2): (4-2)(4-4)(2-4) = 20(-2) = 0. Условие не выполняется.
Пара (4,4): (4-4)(4-4)(4-4) = 000 = 0. Условие не выполняется.
Пара (4,6): (4-6)(4-4)(6-4) = (-2)02 = 0. Условие не выполняется.
Пара (4,8): (4-8)(4-4)(8-4) = (-4)04 = 0. Условие не выполняется.
Пара (6,0): (6-0)(6-4)(0-4) = 62(-4) = -48. Условие выполняется.
Пара (6,2): (6-2)(6-4)(2-4) = 42(-2) = -16. Условие выполняется.
Пара (6,4): (6-4)(6-4)(4-4) = 220 = 0. Условие не выполняется.
Пара (6,6): (6-6)(6-4)(6-4) = 022 = 0. Условие не выполняется.
Пара (6,8): (6-8)(6-4)(8-4) = (-2)24 = -16. Условие выполняется.
Пара (8,0): (8-0)(8-4)(0-4) = 84(-4) = -128. Условие выполняется.
Пара (8,2): (8-2)(8-4)(2-4) = 64(-2) = -48. Условие выполняется.
Пара (8,4): (8-4)(8-4)(4-4) = 440 = 0. Условие не выполняется.
Пара (8,6): (8-6)(8-4)(6-4) = 242 = 16. Условие выполняется.
Пара (8,8): (8-8)(8-4)(8-4) = 044 = 0. Условие не выполняется.
Итак, мы рассмотрели все пары элементов из множества A и проверили выполнение условия (x-y)(x-4)(y-4)<=0 для каждой пары. Теперь можем сделать выводы о свойствах бинарного отношения R:
-
Рефлексивность: Бинарное отношение R на множестве A не является рефлексивным, так как не выполняется для всех пар (x,x).
-
Симметричность: Бинарное отношение R на множестве A не является симметричным, так как для некоторых пар (x,y) выполняется условие, а для других - нет.
-
Транзитивность: Бинарное отношение R на множестве A не является транзитивным, так как для некоторых пар (x,y) и (y,z) выполняется условие, а для других - нет.
-
Антирефлексивность: Бинарное отношение R на множестве A является антирефлексивным, так как для всех пар (x,x) условие не выполняется.
-
Антисимметричность: Бинарное отношение R на множестве A является антисимметричным, так как для всех пар (x,y) и (y,x), если условие выполняется для одной пары, то не выполняется для другой пары.
-
Антитранзитивность: Бинарное отношение R на множестве A является антитранзитивным, так как для всех пар (x,y) и (y,z), если условие выполняется для одной пары, то не выполняется для другой пары.
Таким образом, бинарное отношение R на множестве A={0,2,4,6,8} является антирефлексивным, антисимметричным и антитранзитивным.