Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольник ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке М. Докажите, что MD|...
Условие:
Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольник ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке М. Докажите, что MD||AB
Решение:
Для доказательства того, что MD || AB, мы можем использовать свойство биссектрисы треугольника.
Пусть E - точка пересечения прямой, проходящей через середину биссектрисы AD и перпендикулярной к AD, с стороной BC.
Так как AD - биссектриса треугольника ABC, то отношение длин отрезков BD и DC равно отношению длин отрезков AB и AC, то есть BD/DC = AB/AC.
Также, так как точка E лежит на прямой, проходящей через середину биссектрисы AD и перпендикулярной к AD, то DE является медианой треугольника BDC. Следовательно, отношение длин отрезков BD и DC равно отношению длин отрезков BE и EC, то есть BD/DC = BE/EC.
Из этих двух равенств следует, что AB/AC = BE/EC.
Теперь рассмотрим треугольник AEM и треугольник CEM. У них углы при вершине E равны, так как они соответственно вертикальные углы. Также, у них отношение длин сторон равно, так как мы только что доказали, что AB/AC = BE/EC.
Из этих двух равенств следует, что треугольники AEM и CEM подобны.
Так как угол MEC является прямым, то угол MAE также является прямым.
Таким образом, у треугольников AEM и CEM углы при вершине E равны, а угол MAE прямой. Следовательно, угол MCE также является прямым.
Таким образом, MD || AB, так как угол MCE прямой и угол MAE прямой.
Таким образом, мы доказали, что MD || AB.
