проверьте является ли четырехугольник abcd с вершинами в точках A(2;3;4) B(-1;-3;-1) C(-2;3;-2) D(1;9;3) параллелограммом
Условие:
Решение:
Чтобы определить, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, нужно проверить, выполняются ли два условия:
- Противоположные стороны параллельны.
- Противоположные стороны равны по длине.
Для этого можно использовать векторные операции. Проверим каждое условие по очереди.
- Проверка параллельности противоположных сторон: Для этого нужно проверить, являются ли векторы AB и CD параллельными. Для этого вычислим их направляющие векторы и проверим, равны ли они или пропорциональны.
Направляющий вектор AB: AB = B - A = (-1 - 2, -3 - 3, -1 - 4) = (-3, -6, -5) Направляющий вектор CD: CD = D - C = (1 - (-2), 9 - 3, 3 - (-2)) = (3, 6, 5)
Теперь проверим, равны ли или пропорциональны эти векторы. Для этого можно сравнить их координатные отношения. Если отношения координат равны, то векторы пропорциональны.
Отношения координат для AB: (-3/3, -6/6, -5/5) = (-1, -1, -1) Отношения координат для CD: (3/3, 6/6, 5/5) = (1, 1, 1)
Отношения координат для AB и CD не равны, поэтому векторы AB и CD не пропорциональны. Следовательно, противоположные стороны AB и CD не параллельны.
- Проверка равенства противоположных сторон: Для этого нужно проверить, равны ли длины сторон AB и CD. Для этого вычислим длины этих сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Длина стороны AB: |AB| = √((-3)^2 + (-6)^2 + (-5)^2) = √(9 + 36 + 25) = √70 Длина стороны CD: |CD| = √(3^2 + 6^2 + 5^2) = √(9 + 36 + 25) = √70
Длины сторон AB и CD равны, поэтому противоположные стороны AB и CD равны по длине.
Итак, противоположные стороны AB и CD не параллельны, но равны по длине. Следовательно, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.