Пусть X={1,2,3,4,5} . Бинарное отношение R⊆X×X задано характеристическим свойством: R={(a,b)|a+b делится на 2, a,b∈X} . Укажите, какими с...
Условие:
Пусть X={1,2,3,4,5} . Бинарное отношение R⊆X×X задано характеристическим свойством:
R={(a,b)|a+b делится на 2, a,b∈X} .
Укажите, какими свойствами оно обладает.
Антирефлексивность
Рефлексивность
Несимметричность
Симметричность
Транзитивность
Решение:
Для определения свойств бинарного отношения R, нужно проверить каждое из них:
-
Антирефлексивность: Отношение R является антирефлексивным, если для каждого элемента x из X не выполняется условие (x, x) ∈ R. В данном случае, для каждого элемента x из X, x + x = 2x, и 2x не делится на 2. Таким образом, отношение R является антирефлексивным.
-
Рефлексивность: Отношение R является рефлексивным, если для каждого элемента x из X выполняется условие (x, x) ∈ R. В данном случае, для каждого элемента x из X, x + x = 2x, и 2x делится на 2. Таким образом, отношение R не является рефлексивным.
-
Несимметричность: Отношение R является несимметричным, если для каждой пары элементов (a, b) из X выполняется условие (a, b) ∈ R, но (b, a) не принадлежит R. В данном случае, если (a, b) ∈ R, то a + b делится на 2. Однако, если (b, a) ∈ R, то b + a также должно делиться на 2. Так как сложение чисел коммутативно, то a + b = b + a, и если одно из них делится на 2, то и другое тоже должно делиться на 2. Таким образом, отношение R является симметричным.
-
Симметричность: Отношение R является симметричным, если для каждой пары элементов (a, b) из X выполняется условие (a, b) ∈ R, тогда и только тогда, когда (b, a) ∈ R. В данном случае, отношение R является симметричным, так как если a + b делится на 2, то и b + a также делится на 2.
-
Транзитивность: Отношение R является транзитивным, если для каждых трех элементов a, b, c из X, если (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R, то (a, c) ∈ R. В данном случае, если a + b делится на 2 и b + c делится на 2, то (a + b) + (b + c) = a + 2b + c делится на 2. Таким образом, отношение R является транзитивным.
Итак, свойства, которыми обладает данное бинарное отношение R, это:
- Антирефлексивность
- Симметричность
- Транзитивность
