Решение задач по геометрии: "Дан прямоугольный треугольник MNK, на стороне MN отмечена точка P. От точки P к точке E на стороне МК проведён ...
Условие:
Решение задач по геометрии: "Дан прямоугольный треугольник MNK, на стороне MN отмечена точка P. От точки P к точке E на стороне МК проведён перпендикуляр, так что PE||NK, MP=6, MN=8, ME=4.a) Найдите MK б) РЕ:NK"
Решение:
Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.
a) Найдем длину стороны MK. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника MNK, имеем: MK^2 = MN^2 + NK^2 MK^2 = 8^2 + NK^2 MK^2 = 64 + NK^2
Также, из условия задачи известно, что MP = 6 и ME = 4. Заметим, что треугольники MPE и MKN подобны, так как у них соответственные углы равны (по свойству параллельных прямых).
Используя свойство подобных треугольников, можем записать пропорцию: MP/ME = NK/MK 6/4 = NK/MK 3/2 = NK/MK
Теперь мы можем решить систему уравнений: MK^2 = 64 + NK^2 3/2 = NK/MK
Умножим второе уравнение на MK и заменим NK/MK в первом уравнении: 3/2 = NK/MK 3MK = 2NK NK = (3/2)MK
Подставим это значение в первое уравнение: MK^2 = 64 + (3/2)MK^2 2MK^2 = 128 + 3MK^2 MK^2 = 128
Таким образом, MK = √128 = 8√2.
b) Найдем отношение PE:NK. Из пропорции MP/ME = NK/MK, получаем: 6/4 = NK/(8√2) 3/2 = NK/(8√2)
Умножим обе части уравнения на 8√2: 3√2 = NK
Таким образом, отношение PE:NK равно 3√2:1.