Решить векторным методом: Точки M и N расположены на сторонах AB и AD параллелограмма ABCD, причём AM : MB = 1 : 2, AN : ND = 3 : 2. Отрезки...
Условие:
Решить векторным методом: Точки M и N расположены на сторонах AB и AD параллелограмма ABCD, причём AM : MB = 1 : 2, AN : ND = 3 : 2. Отрезки DM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношения DK : KM и CK : KN.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом.
Пусть векторы AB и AD обозначаются как a и b соответственно. Тогда векторы AM и AN можно выразить следующим образом: AM = (1/3) * a AN = (3/5) * b
Так как точка M находится на отрезке AB, то вектор AM можно выразить через векторы AB и BM: AM = AB - BM
Из условия AM : MB = 1 : 2, получаем: BM = (2/3) * AM = (2/3) * (AB - BM)
Раскроем скобки и выразим BM: BM = (2/3) * AB - (2/3) * BM (5/3) * BM = (2/3) * AB BM = (2/5) * AB
Аналогично, из условия AN : ND = 3 : 2, получаем: ND = (2/5) * AD
Теперь найдем точку K, пересечение отрезков DM и CN. Пусть вектор DK обозначает отрезок DM, а вектор CK - отрезок CN.
Так как точка K лежит на отрезке DM, то вектор DK можно выразить через векторы DM и MK: DK = DM - MK
Аналогично, вектор CK можно выразить через векторы CN и NK: CK = CN - NK
Теперь найдем векторы DM и CN. Вектор DM можно выразить через векторы BM и BD: DM = BM + BD
Аналогично, вектор CN можно выразить через векторы AN и AC: CN = AN + AC
Подставим выражения для BM, BD, AN и AC: DM = (2/5) * AB + (3/5) * AD CN = (3/5) * b + (2/5) * a
Теперь найдем векторы MK и NK. Вектор MK можно выразить через векторы BM и DM: MK = BM - DM
Аналогично, вектор NK можно выразить через векторы AN и CN: NK = AN - CN
Подставим выражения для BM, DM, AN и CN: MK = (2/5) * AB - (2/5) * AD - (2/5) * AB - (3/5) * AD NK = (3/5) * b - (3/5) * b - (2/5) * a - (3/5) * b
Упростим выражения: MK = -(4/5) * AD NK = -(2/5) * a - (3/5) * b
Теперь найдем отношения DK : KM и CK : KN.
DK = DM - MK = (2/5) * AB + (3/5) * AD + (4/5) * AD = (2/5) * AB + (7/5) * AD KM = -MK = (4/5) * AD
Отношение DK : KM равно: DK : KM = ((2/5) * AB + (7/5) * AD) : ((4/5) * AD) = (2/5) * AB : (4/5) * AD + (7/5) * AD : (4/5) * AD = 2 : 4 + 7 : 4 = 2 : 11
CK = CN - NK = (3/5) * b + (2/5) * a + (2/5) * a + (3/5) * b = (4/5) * a + (6/5) * b KN = -NK = (2/5) * a + (3/5) * b
Отношение CK : KN равно: CK : KN = ((4/5) * a + (6/5) * b) : ((2/5) * a + (3/5) * b) = (4/5) * a : (2/5) * a + (6/5) * b : (2/5) * a + (3/5) * b = 4 : 2 + 6 : 2 = 4 : 8 = 1 : 2
Таким образом, отношения DK : KM и CK : KN равны 2 : 11 и 1 : 2 соответственно.
