Установить сходимость ∞ ∑ n = 1 n^2 + 1/ n^3 (признак
Условие:
Установить сходимость ∞ ∑ n = 1 n^2 + 1/ n^3 (признак
Решение:
Для определения сходимости данного ряда, мы можем использовать признак сравнения. Для этого нам понадобится сравнить данный ряд с другим рядом, сходимость которого нам известна.
Рассмотрим ряд ∑ n = 1 ∞ 1/n^3. Этот ряд является п-рядом с показателем p = 3, и мы знаем, что п-ряды сходятся.
Теперь сравним исходный ряд с этим п-рядом. Для этого рассмотрим отношение абсолютных значений элементов двух рядов:
|n^2 + 1/n^3| / |1/n^3| = |n^5 + 1|.
Заметим, что для всех n ≥ 1, значение выражения |n^5 + 1| ≥ 1. Таким образом, мы можем сказать, что |n^2 + 1/n^3| / |1/n^3| ≥ 1 для всех n ≥ 1.
Исходя из этого, мы можем заключить, что исходный ряд ∑ n = 1 ∞ (n^2 + 1/n^3) не меньше, чем ряд ∑ n = 1 ∞ 1/n^3, который сходится.
Таким образом, по признаку сравнения, если ряд ∑ n = 1 ∞ 1/n^3 сходится, то исходный ряд ∑ n = 1 ∞ (n^2 + 1/n^3) также сходится.
Пожалуйста, обратите внимание, что это предварительный анализ, и для окончательного вывода необходимо провести более детальное исследование.
