В этом задании мы подробно разберем процедуру проверки условий эквивалентности. Обозначение черезЗ множество целых чисел. Будем говорить, ч...
Условие:
В этом задании мы подробно разберем процедуру проверки условий эквивалентности. Обозначение черезЗ множество целых чисел. Будем говорить, что два целых числа х , у впечатления отношением∼ тогда и только тогда, когда х + у Включая 9 . Символически:
х ∼ у⟺ х + у д е л и т с я н а 9.
Мы хотим проверить, является ли это отношением эквивалентности.
Решение:
Для проверки, является ли данное отношение эквивалентностью, необходимо выполнить три условия: рефлексивность, симметричность и транзитивность.
- Рефлексивность: Для всех элементов х из множества Z должно выполняться х ∼ х. В данном случае, это означает, что х + х должно делиться на 9. Проверим это условие для всех целых чисел х.
Если х = 0, то 0 + 0 = 0, что делится на 9. Если х = 1, то 1 + 1 = 2, что не делится на 9. Если х = -1, то -1 + (-1) = -2, что не делится на 9.
Таким образом, условие рефлексивности не выполняется для всех целых чисел х, и отношение ∼ не является рефлексивным.
- Симметричность: Для всех элементов х и у из множества Z, если х ∼ у, то у ∼ х. В данном случае, это означает, что х + у должно делиться на 9, если у + х делится на 9. Проверим это условие для всех целых чисел х и у.
Если х = 0 и у = 0, то 0 + 0 = 0, что делится на 9. Условие выполняется. Если х = 1 и у = 2, то 1 + 2 = 3, что не делится на 9. Условие не выполняется.
Таким образом, условие симметричности также не выполняется для всех целых чисел х и у, и отношение ∼ не является симметричным.
- Транзитивность: Для всех элементов х, у и z из множества Z, если х ∼ у и у ∼ z, то х ∼ z. В данном случае, это означает, что если х + у и у + z делятся на 9, то х + z также должно делиться на 9. Проверим это условие для всех целых чисел х, у и z.
Если х = 0, у = 0 и z = 0, то 0 + 0 и 0 + 0 делятся на 9. Условие выполняется. Если х = 1, у = 2 и z = 3, то 1 + 2 и 2 + 3 не делятся на 9. Условие не выполняется.
Таким образом, условие транзитивности также не выполняется для всех целых чисел х, у и z, и отношение ∼ не является транзитивным.
Итак, мы можем заключить, что данное отношение ∼ не является отношением эквивалентности, так как оно не удовлетворяет всем трем условиям: рефлексивности, симметричности и транзитивности.
