В остроугольный треугольник ABC вписана окружность w с центром в точке I. Она касается стороны BC в точке H, а прямая HI пересекает сторону ...
Условие:
В остроугольный треугольник ABC вписана окружность w с центром в точке I. Она касается стороны BC в точке H, а прямая HI пересекает сторону AC в токе K. Периметр ABC = 22. Проведены высоты AA1, BB1, отрезок A1B1 касательная к окружности w. Найди CK
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые свойства остроугольных треугольников и окружностей, а также формулы для нахождения периметра треугольника.
-
Свойство 1: В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Обозначим ортоцентр треугольника ABC как H.
-
Свойство 2: В остроугольном треугольнике точка пересечения высот делит каждую высоту в отношении 2:1. То есть, AH:HH1 = BH:HB1 = CH:HC1 = 2:1.
-
Свойство 3: В остроугольном треугольнике точка пересечения высот равноудалена от вершин треугольника. То есть, AH = BH = CH.
-
Свойство 4: В остроугольном треугольнике центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис. Обозначим центр вписанной окружности как I.
-
Свойство 5: В остроугольном треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности. Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника ABC как I.
Теперь, приступим к решению задачи:
По свойству 3, мы знаем, что AH = BH = CH. Поэтому, периметр треугольника ABC равен 3 * AH.
Из условия задачи, периметр треугольника ABC равен 22. Тогда, AH = 22 / 3.
Теперь, рассмотрим треугольник AHI. По свойству 2, мы знаем, что AH:HH1 = 2:1. То есть, AH / HH1 = 2 / 1.
Подставим значение AH: 22 / 3 / HH1 = 2 / 1. Тогда, HH1 = (22 / 3) * (1 / 2) = 11 / 3.
Теперь, рассмотрим треугольник AKI. Мы знаем, что HI - это высота треугольника AKI, а KK1 - это высота треугольника CKI.
Так как HI и KK1 являются высотами, то AKI и CKI являются подобными треугольниками.
Поэтому, отношение длин отрезков HI и KK1 равно отношению длин отрезков AI и CI.
То есть, HI / KK1 = AI / CI.
Мы знаем, что AI = AH + HH1 и CI = CH - HH1.
Подставим значения: HI / KK1 = (AH + HH1) / (CH - HH1) = (22 / 3 + 11 / 3) / (22 / 3 - 11 / 3) = (33 / 3) / (11 / 3) = 3.
Теперь, рассмотрим треугольник CKI. Мы знаем, что HI - это высота треугольника CKI, а KK1 - это высота треугольника CKI.
Так как HI и KK1 являются высотами, то CKI является прямоугольным треугольником.
То есть, CKI - прямоугольный треугольник с прямым углом в точке K.
Так как CKI - прямоугольный треугольник, то CK - это гипотенуза треугольника CKI.
То есть, CK = sqrt(HI^2 + KK1^2) = sqrt( (11 / 3)^2 + (22 / 3)^2 ) = sqrt(121 / 9 + 484 / 9) = sqrt(605 / 9) = sqrt(605) / 3.
Таким образом, CK = sqrt(605) / 3.