в правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1=7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит е...
Условие:
в правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1=7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины D1. Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B,D,M является равнобедренной трапецией
Решение:
Для доказательства того, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией, мы можем использовать свойства параллелограмма.
Поскольку ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма, сторона основания AB = BC = CD = DA = 20.
Также известно, что боковое ребро AA1 = 7.
Пусть точка N - середина ребра A1D1.
Так как точка M делит ребро A1D1 в отношении 2:3, считая от вершины D1, то можно сказать, что DN = 2/5 * A1D1 и MN = 3/5 * A1D1.
Так как N - середина ребра A1D1, то DN = ND1 и MN = ND1.
Теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.
Поскольку AB = BC = CD = DA, то сечение будет параллелограммом.
Также, по свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делятся пополам.
Таким образом, точка N будет серединой диагонали BD.
Также, поскольку MN = ND1, то сегменты MN и ND1 равны.
Таким образом, сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией, так как MN = ND1 и NB = BD.
Таким образом, мы доказали, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.
