В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СН так, что АС = 2 см, ВН = 3 см. Найдите СВ, СН, АН. В каком отношении СН...
Условие:
В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СН так, что АС = 2 см, ВН = 3 см. Найдите СВ, СН, АН. В каком отношении СН делит площадь треугольника АВС?
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольного треугольника.
Известно, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
АС^2 + ВН^2 = АВ^2
Подставляя известные значения, получим:
2^2 + 3^2 = АВ^2 4 + 9 = АВ^2 13 = АВ^2
Теперь найдем длину гипотенузы АВ:
АВ = √13
Так как СН является высотой, она перпендикулярна гипотенузе АВ и делит ее на две равные части. Таким образом, СН = АВ / 2:
СН = √13 / 2
Также, так как СН является высотой, она делит площадь треугольника АВС на две равные части. Таким образом, отношение площади треугольника АВС к площади треугольника СНВ равно 1:1.
АН является катетом прямоугольного треугольника АНС. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти его длину:
АН^2 + СН^2 = АС^2 АН^2 + (√13 / 2)^2 = 2^2 АН^2 + 13 / 4 = 4 АН^2 = 4 - 13 / 4 АН^2 = 16 / 4 - 13 / 4 АН^2 = 3 / 4 АН = √(3 / 4) АН = √3 / 2
Таким образом, СВ = √13, СН = √13 / 2 и АН = √3 / 2. Отношение площади треугольника АВС к площади треугольника СНВ равно 1:1.
