В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в ...
Условие:
В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Окружность, описанная около треугольника ACD пересекает сторону AB в точке E.
- докажите, что треугольник CDE равнобедренный
- найдите площадь треугольника CDE, если AB=8, BC=7, AC=6
Решение:
Для доказательства, что треугольник CDE равнобедренный, нам понадобится использовать свойства биссектрисы и описанной окружности треугольника ACD.
- Докажем, что угол CDE равен углу CED. Из свойств биссектрисы известно, что отрезок BD делит сторону AC пропорционально отношению длин смежных сторон треугольника ABC, то есть AB/BC = AD/DC. Также из свойств описанной окружности известно, что угол AED равен углу ACD. Тогда у нас есть следующие равенства углов: ∠CDE = ∠ADE (по свойству описанной окружности) ∠ADE = ∠ACD (по свойству биссектрисы) ∠ACD = ∠CED (по свойству биссектрисы)
Таким образом, угол CDE равен углу CED, что означает, что треугольник CDE является равнобедренным.
- Чтобы найти площадь треугольника CDE, нам понадобится знать длины его сторон. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
Из треугольника ABC, применяя теорему косинусов к углу BAC, получаем: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(∠BAC) 6^2 = 8^2 + 7^2 - 2 * 8 * 7 * cos(∠BAC) 36 = 64 + 49 - 112 * cos(∠BAC) -77 = -112 * cos(∠BAC) cos(∠BAC) = -77 / -112 cos(∠BAC) ≈ 0.6875
Теперь, чтобы найти длину стороны CD, воспользуемся свойством биссектрисы: AB/BC = AD/DC 8/7 = AD/DC AD = (8/7) * DC
Так как AD + DC = AC, то (8/7) * DC + DC = 6 (15/7) * DC = 6 DC = (7/15) * 6 DC = 14/5
Теперь мы знаем длины сторон треугольника CDE: CD = 14/5, CE = 8, DE = 8 - (14/5) = 26/5.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника CDE, воспользуемся формулой Герона: S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины его сторон.
Полупериметр треугольника CDE: p = (CD + CE + DE) / 2 p = ((14/5) + 8 + (26/5)) / 2 p = (14/5 + 40/5 + 26/5) / 2 p = 80/5 / 2 p = 40/5 p = 8
Теперь можем вычислить площадь треугольника CDE: S = sqrt(8 * (8 - (14/5)) * (8 - 8) * (8 - (26/5))) S = sqrt(8 * (40/5 - 14/5) * 0 * (40/5 - 26/5)) S = sqrt(8 * (26/5) * 0 * (14/5)) S = sqrt(0) S = 0
Таким образом, площадь треугольника CDE равна 0.