В треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что BC равно 14, угол A равен 45°, угол C равен 30° . Найдите AD.
Условие:
В треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что BC равно 14, угол A равен 45°, угол C равен 30° . Найдите AD.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.
Теорема синусов гласит: в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно постоянной величине.
В нашем случае, применим теорему синусов к треугольнику ABD:
AD/sin(45°) = BD/sin(30°)
Так как угол A равен 45°, sin(45°) = √2/2 А угол C равен 30°, sin(30°) = 1/2
Подставим значения в уравнение:
AD/(√2/2) = BD/(1/2)
Упростим уравнение:
AD * 2/√2 = BD * 2
AD * √2 = BD * 2
Теперь нам нужно найти длину BD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике BCD:
BC^2 = BD^2 + CD^2
Подставим известные значения:
14^2 = BD^2 + CD^2
BD^2 = 14^2 - CD^2
BD^2 = 196 - (14 * sin(30°))^2
BD^2 = 196 - (14 * 1/2)^2
BD^2 = 196 - 49
BD^2 = 147
BD = √147
Теперь подставим значение BD в уравнение:
AD * √2 = √147 * 2
AD = (√147 * 2) / √2
AD = √(147 * 2)
AD = √294
AD ≈ 17.15
Таким образом, длина AD примерно равна 17.15.