В треугольнике АВС биссектриса АН равна 8 см, АВ = 6 см, АС = 9 см. Найдите SABH : SACH.
Условие:
В треугольнике АВС биссектриса АН равна 8 см, АВ = 6 см, АС = 9 см. Найдите SABH : SACH.
Решение:
Для решения этой задачи, нам нужно найти отношение площадей треугольников SABH и SACH.
Для начала, найдем длину биссектрисы CH. Используя теорему биссектрисы, мы можем найти отношение длин боковых сторон треугольника АСН:
AH/HC = AB/BC
Так как мы знаем, что AB = 6 см и AC = 9 см, мы можем подставить эти значения в уравнение:
8/HC = 6/BC
Теперь, найдем длину боковой стороны BC. Для этого, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABC:
AB^2 + AC^2 = BC^2
6^2 + 9^2 = BC^2
36 + 81 = BC^2
117 = BC^2
BC = √117
Теперь, мы можем подставить значение BC в уравнение:
8/HC = 6/√117
Теперь, найдем длину биссектрисы CH, используя пропорцию:
8/HC = 6/√117
HC = (8 * √117) / 6
HC ≈ 10.16 см
Теперь, мы можем найти площади треугольников SABH и SACH, используя формулу площади треугольника:
SABH = (1/2) * AB * BH
SACH = (1/2) * AC * CH
Подставим известные значения:
SABH = (1/2) * 6 * 8 = 24 см^2
SACH = (1/2) * 9 * 10.16 ≈ 45.72 см^2
Теперь, найдем отношение площадей:
SABH : SACH = 24 : 45.72 ≈ 1 : 1.9
Таким образом, отношение площадей треугольников SABH и SACH примерно равно 1 : 1.9.