Задан треугольник АВС,на сторонах АВ и ВС взяли точки А1 и С1 соответственно. ВВ1 медиана. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.Док...
Условие:
Задан треугольник АВС,на сторонах АВ и ВС взяли точки А1 и С1 соответственно. ВВ1 медиана. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.Докажите ,что А1С1||АС. Доказать с помощью теоремы Чевы
Решение:
Для доказательства, что А1С1 || АС, воспользуемся теоремой Чевы.
Теорема Чевы утверждает, что для треугольника ABC и точек D, E, F, лежащих на сторонах AB, BC, CA соответственно, выполняется следующее условие:
AD/DB * BE/EC * CF/FA = 1
В нашем случае, точки D, E, F - это точки пересечения отрезков АА1, ВВ1 и СС1 в точке О.
Обозначим отрезки АО, ОО1, О1С1 как x, y и z соответственно.
Тогда, согласно теореме Чевы, имеем:
x/(AB - x) * y/(BC - y) * z/(CA - z) = 1
Заметим, что отрезки AB, BC и CA являются постоянными величинами, так как это стороны треугольника ABC.
Также заметим, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 делят стороны треугольника на одинаковые отношения, так как они являются медианами, и медианы делят стороны треугольника пополам.
Таким образом, отношения x/(AB - x), y/(BC - y) и z/(CA - z) равны между собой.
Подставляя это равенство в уравнение теоремы Чевы, получаем:
(x/(AB - x))^3 = 1
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
x^3 - 3x^2AB + 3xAB^2 - AB^3 = 0
Таким образом, получаем кубическое уравнение, которое имеет решение x = AB.
Аналогично, можно доказать, что y = BC и z = CA.
Таким образом, отношения x/(AB - x), y/(BC - y) и z/(CA - z) равны 1, что означает, что А1С1 || АС.
Таким образом, мы доказали, что А1С1 параллельно АС с помощью теоремы Чевы.
