Пусть X , Y–объемы производства товаров. Кривая производственных возможностей описывается уравнением:Х^(2 )+ Y^(2 )=450. Функция полезности...
Условие:
Пусть X , Y–объемы производства товаров. Кривая производственных возможностей описывается уравнением:Х^(2 )+ Y^(2 )=450. Функция полезности в обществе: U= XY. Определите оптимальный объем производства товаров.
Решение:
Для определения оптимального объема производства товаров, необходимо максимизировать функцию полезности U = XY при заданном ограничении на производственные возможности.
Для этого воспользуемся методом Лагранжа. Пусть L(X, Y, λ) = XY + λ(Х^2 + Y^2 - 450) - функция Лагранжа, где λ - множитель Лагранжа.
Для нахождения экстремума функции L(X, Y, λ), найдем ее частные производные по X, Y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂X = Y + 2λX = 0 ∂L/∂Y = X + 2λY = 0 ∂L/∂λ = X^2 + Y^2 - 450 = 0
Решая эту систему уравнений, найдем значения X, Y и λ.
Из первого уравнения получаем Y = -2λX. Подставим это выражение во второе уравнение: X - 4λ^2X = 0. Так как X ≠ 0, получаем 1 - 4λ^2 = 0, откуда λ = ±1/2.
Подставим найденные значения λ в первое уравнение: Y = -X/2 и в третье уравнение: X^2 + (-X/2)^2 = 450. Решив это уравнение, получим два значения X: X = ±15√2.
Таким образом, получаем две пары значений (X, Y): (15√2, -7.5√2) и (-15√2, 7.5√2).
Оптимальный объем производства товаров будет соответствовать одной из этих пар значений, которая максимизирует функцию полезности U = XY.
