Тело массой m=100 г совершает затухающие колебания и за время t_1=1 мин теряет 60% своей энергии. Чему равен коэффициент сопротивления движ...
Условие:
Тело массой m=100 г совершает затухающие колебания и за время t_1=1 мин теряет 60% своей энергии. Чему равен коэффициент сопротивления движению r?
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения энергии. Пусть E_0 - начальная энергия системы, а E_1 - энергия системы после времени t_1.
Из условия задачи известно, что система теряет 60% своей энергии за время t_1. Это означает, что энергия системы после времени t_1 составляет 40% от начальной энергии:
E_1 = 0.4 * E_0
Также, мы знаем, что энергия системы связана с массой и скоростью движения следующим образом:
E = (1/2) * m * v^2
где m - масса тела, v - скорость тела.
Таким образом, начальная энергия системы E_0 и энергия системы после времени t_1 E_1 можно выразить через массу и скорость:
E_0 = (1/2) * m * v_0^2 E_1 = (1/2) * m * v_1^2
где v_0 - начальная скорость тела, v_1 - скорость тела после времени t_1.
Теперь мы можем записать соотношение между начальной и конечной энергией:
E_1 = 0.4 * E_0 (1/2) * m * v_1^2 = 0.4 * (1/2) * m * v_0^2
Масса m сокращается, и мы получаем:
v_1^2 = 0.4 * v_0^2
Теперь мы можем выразить скорость v_1 через начальную скорость v_0:
v_1 = sqrt(0.4) * v_0
Так как система совершает затухающие колебания, мы можем использовать формулу для затухающих колебаний:
v_1 = v_0 * exp(-r * t_1)
где r - коэффициент сопротивления движению, t_1 - время.
Теперь мы можем приравнять два выражения для v_1:
sqrt(0.4) * v_0 = v_0 * exp(-r * t_1)
Сокращаем v_0 и решаем уравнение относительно r:
sqrt(0.4) = exp(-r * t_1)
-ln(sqrt(0.4)) = r * t_1
Теперь мы можем вычислить значение r:
r = -ln(sqrt(0.4)) / t_1
Подставляя числовые значения, получаем:
r ≈ -ln(sqrt(0.4)) / 60
Таким образом, коэффициент сопротивления движению r примерно равен -ln(sqrt(0.4)) / 60.
