Диск вращается так, что зависимость линейной скоро сти точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = At + Bt² (A = 0,3 м...
Условие:
Диск вращается так, что зависимость линейной скоро сти точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = At + Bt² (A = 0,3 м/с², B = 0,1 м/с³). Определите радиус, если 2 к концу 2-й секунды движения вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол ф = 86°.
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобится знание о связи между векторами скорости и ускорения в круговом движении.
В круговом движении вектор скорости и вектор ускорения перпендикулярны друг другу. Таким образом, вектор полного ускорения будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, а вектор скорости - одной из его катетов.
Из условия задачи известно, что угол между вектором полного ускорения и вектором скорости равен 86°. Так как вектор скорости и вектор полного ускорения перпендикулярны, то угол между вектором полного ускорения и осью времени будет равен 90° - 86° = 4°.
Теперь мы можем использовать тригонометрию для определения величины вектора полного ускорения. Так как вектор полного ускорения является гипотенузой прямоугольного треугольника, то мы можем записать следующее уравнение:
|A| = |v| * sin(4°),
где |A| - величина вектора полного ускорения, |v| - величина вектора скорости.
Из уравнения движения v = At + Bt² мы можем найти величину вектора скорости в конце 2-й секунды движения:
v = A * 2 + B * (2^2) = 0,3 м/с² * 2 с + 0,1 м/с³ * (2 с)² = 0,6 м/с + 0,4 м/с = 1 м/с.
Теперь мы можем подставить полученные значения в уравнение для величины вектора полного ускорения:
|A| = 1 м/с * sin(4°) ≈ 0,069 м/с.
Так как вектор полного ускорения направлен от центра к точке на ободе диска, то его величина равна модулю вектора полного ускорения.
Наконец, мы можем использовать известную формулу для линейной скорости вращающегося объекта:
v = ω * r,
где v - линейная скорость, ω - угловая скорость, r - радиус.
Из уравнения движения v = At + Bt² мы можем найти угловую скорость в конце 2-й секунды движения:
v = ω * r = 1 м/с.
Так как угловая скорость равна изменению угла за единицу времени, то мы можем записать следующее уравнение:
ω = Δθ / Δt,
где Δθ - изменение угла, Δt - изменение времени.
Из условия задачи известно, что за 2 секунды угол поворота равен 86°. Переведем его в радианы:
Δθ = 86° * (π / 180°) ≈ 1,502 рад.
Теперь мы можем подставить полученные значения в уравнение для угловой скорости:
1 м/с = 1,502 рад / 2 с,
откуда получаем:
1 м/с = 0,751 рад/с.
Наконец, мы можем использовать полученное значение угловой скорости и известную формулу для радиуса:
r = v / ω = 1 м/с / 0,751 рад/с ≈ 1,33 м.
Таким образом, радиус диска составляет примерно 1,33 м.
