Напишите каноническое уравнение гиперболы, если: 𝜀 = 2 и точка 𝑀(√3;√2) лежит на гиперболе.
Условие:
Напишите каноническое уравнение гиперболы, если: 𝜀 = 2 и точка 𝑀(√3;√2) лежит на гиперболе.
Решение:
Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид:
(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1
где (h, k) - координаты центра гиперболы, a - расстояние от центра до вершин гиперболы, b - расстояние от центра до фокусов гиперболы.
Для нахождения канонического уравнения гиперболы, нам необходимо знать координаты центра и расстояния от центра до фокусов или вершин.
Известно, что точка М(√3, √2) лежит на гиперболе. Подставим эти значения в каноническое уравнение:
(√3 - h)^2 / a^2 - (√2 - k)^2 / b^2 = 1
Также известно, что 𝜀 = 2. Зная, что 𝜀 = c / a, где c - расстояние от центра до фокусов, можем записать:
2 = c / a
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (h, k, a, b). Чтобы решить систему уравнений, нам необходимо еще одно условие.
Если дано условие, что 𝜀 = 2, то можно использовать формулу связи между 𝜀, a и b:
𝜀^2 = 1 + (b^2 / a^2)
Подставим значение 𝜀 = 2:
2^2 = 1 + (b^2 / a^2)
4 = 1 + (b^2 / a^2)
3 = b^2 / a^2
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными (h, k, a, b). Решим эту систему уравнений.
Из уравнения 𝜀 = c / a получаем:
c = 2a
Подставим это в уравнение (√3 - h)^2 / a^2 - (√2 - k)^2 / b^2 = 1:
(√3 - h)^2 / a^2 - (√2 - k)^2 / b^2 = 1
(√3 - h)^2 / a^2 - (√2 - k)^2 / (4a^2) = 1
Раскроем скобки:
(3 - 2√3h + h^2) / a^2 - (2 - 2√2k + k^2) / (4a^2) = 1
Умножим обе части уравнения на 4a^2, чтобы избавиться от знаменателя:
4(3 - 2√3h + h^2) - (2 - 2√2k + k^2) = 4a^2
12 - 8√3h + 4h^2 - 2 + 2√2k - k^2 = 4a^2
10 - 8√3h + 4h^2 + 2√2k - k^2 = 4a^2
Теперь у нас есть уравнение, которое связывает h, k и a.
Однако, чтобы найти конкретные значения h, k и a, нам необходимо еще одно условие. Если дано дополнительное условие, пожалуйста, укажите его, чтобы мы могли продолжить решение задачи.
