За какую долю периода T груз пройдет 1 см пути после начала движения, если он прикреплен к пружине, сжатой на 2 см
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобится закон Гука, который описывает связь между силой, действующей на пружину, и ее деформацией. Закон Гука формулируется следующим образом:
F = -kx,
где F - сила, действующая на пружину, k - коэффициент упругости пружины, x - деформация пружины.
В данной задаче пружина сжата на 2 см, то есть x = -2 см = -0.02 м. Поэтому сила, действующая на пружину, равна:
F = -k * (-0.02) = 0.02k.
Теперь мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение груза:
F = ma,
где m - масса груза, a - ускорение груза.
Так как сила, действующая на груз, равна 0.02k, то ускорение груза равно:
0.02k = ma.
Теперь мы можем рассмотреть гармоническое движение груза на пружине. Период T гармонического движения связан с коэффициентом упругости пружины и массой груза следующим образом:
T = 2π√(m/k).
Теперь мы можем найти долю периода T, за которую груз пройдет 1 см пути. Для этого нужно найти время, за которое груз пройдет 1 см пути, и разделить его на период T:
t = 1/v,
где v - скорость груза.
Скорость груза можно найти, используя уравнение гармонического движения:
x = A * cos(ωt),
где x - путь, пройденный грузом, A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота.
Для гармонического движения на пружине амплитуда колебаний равна деформации пружины, то есть A = 0.02 м. Угловая частота связана с периодом следующим образом:
ω = 2π/T.
Теперь мы можем найти скорость груза:
v = dx/dt = -Aωsin(ωt).
Подставляя значения A и ω, получаем:
v = -0.02 * 2π/T * sin(2πt/T).
Теперь мы можем найти время t, за которое груз пройдет 1 см пути:
1 = ∫[0,t] v dt = -0.02 * 2π/T ∫[0,t] sin(2πt/T) dt.
Интегрируя это выражение, получаем:
1 = -0.02 * 2π/T * (-T/2π) * (1 - cos(2πt/T)).
Упрощая это выражение, получаем:
1 = 0.02 * (1 - cos(2πt/T)).
Теперь мы можем решить это уравнение относительно t:
cos(2πt/T) = 1 - 1/0.02 = 0.95.
Используя тригонометрическую таблицу или калькулятор, мы можем найти значение t:
2πt/T = arccos(0.95).
Решая это уравнение, получаем:
t = (T/2π) * arccos(0.95).
Таким образом, груз пройдет 1 см пути за время t, равное (T/2π) * arccos(0.95). Чтобы найти долю периода T, за которую груз пройдет 1 см пути, нужно разделить это время на период T:
Доля периода = [(T/2π) * arccos(0.95)] / T = (1/2π) * arccos(0.95).
Таким образом, груз пройдет 1 см пути за долю периода, равную (1/2π) * arccos(0.95).
