По территориям региона приводятся данные за 199X г. В первом регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, 79 руб...
Условие:
По территориям региона приводятся данные за 199X г. В первом регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, 79 руб., а среднедневная заработная плата 134 руб. Во втором регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 91 руб., а среднедневная заработная плата 154 руб. В третьем регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 77 руб., а среднедневная заработная плата 128 руб. В четвертом регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 87 руб., а среднедневная заработная плата 138 руб. Требуется: 1 Построить линейное уравнение парной регрессии от . 2 Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. 3 Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента. 4 Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня. 5 Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. 6 На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо построить линейное уравнение парной регрессии, рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации, оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью критерия Фишера и критерия Стьюдента, выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал, а также построить на одном графике исходные данные и теоретическую прямую.
- Построение линейного уравнения парной регрессии: Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов. Пусть x - среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, а y - среднедневная заработная плата. Тогда линейное уравнение парной регрессии будет иметь вид: y = a + bx, где a - свободный член, b - коэффициент наклона.
Для нахождения a и b воспользуемся следующими формулами: b = (Σ(xy) - (Σx)(Σy)/n) / (Σ(x^2) - (Σx)^2/n) a = (Σy - b(Σx))/n
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим: n = 4 Σx = 79 + 91 + 77 + 87 = 334 Σy = 134 + 154 + 128 + 138 = 554 Σxy = 79134 + 91154 + 77128 + 87138 = 43372 Σ(x^2) = 79^2 + 91^2 + 77^2 + 87^2 = 21878
b = (43372 - (334554)/4) / (21878 - (334^2)/4) ≈ 0.9305 a = (554 - 0.9305334)/4 ≈ 32.5
Таким образом, линейное уравнение парной регрессии будет иметь вид: y = 32.5 + 0.9305x
- Расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации: Для расчета линейного коэффициента парной корреляции (r) воспользуемся формулой: r = (Σ(xy) - (Σx)(Σy)/n) / sqrt((Σ(x^2) - (Σx)^2/n) * (Σ(y^2) - (Σy)^2/n))
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим: Σ(y^2) = 134^2 + 154^2 + 128^2 + 138^2 = 82668
r = (43372 - (334*554)/4) / sqrt((21878 - (334^2)/4) * (82668 - (554^2)/4)) ≈ 0.987
Для расчета средней ошибки аппроксимации (S) воспользуемся формулой: S = sqrt(Σ(y - y')^2/n)
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений, y - фактическое значение, y' - прогнозное значение.
Подставляя значения из условия, получим: y1 = 134, y2 = 154, y3 = 128, y4 = 138 y'1 = 32.5 + 0.930579 ≈ 105.3 y'2 = 32.5 + 0.930591 ≈ 116.8 y'3 = 32.5 + 0.930577 ≈ 100.4 y'4 = 32.5 + 0.930587 ≈ 110.2
S = sqrt((134 - 105.3)^2 + (154 - 116.8)^2 + (128 - 100.4)^2 + (138 - 110.2)^2)/4 ≈ 12.9
- Оценка статистической значимости параметров регрессии и корреляции: Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции воспользуемся критерием Фишера и критерием Стьюдента.
-
Критерий Фишера: F = (r^2 * (n - 2)) / (1 - r^2) F = (0.987^2 * (4 - 2)) / (1 - 0.987^2) ≈ 159.2
-
Критерий Стьюдента: t = b / (S/sqrt(Σ(x^2) - (Σx)^2/n)) t = 0.9305 / (12.9/sqrt(21878 - (334^2)/4)) ≈ 5.7
- Выполнение прогноза заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня: x' = 107% * (79 + 91 + 77 + 87)/4 ≈ 92.3
y' = 32.5 + 0.9305*92.3 ≈ 116.9
Таким образом, прогнозная заработная плата при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня, будет составлять около 116.9 рублей.
- Оценка точности прогноза, расчет ошибки прогноза и его доверительного интервала: Для оценки точности прогноза и расчета ошибки прогноза воспользуемся формулой: e = y - y'
Где y - фактическое значение, y' - прогнозное значение.
Подставляя значения из условия, получим: e1 = 134 - 105.3 ≈ 28.7 e2 = 154 - 116.8 ≈ 37.2 e3 = 128 - 100.4 ≈ 27.6 e4 = 138 - 110.2 ≈ 27.8
Для расчета доверительного интервала воспользуемся формулой: CI = y' ± t * (S/sqrt(n))
Где CI - доверительный интервал, t - значение из таблицы распределения Стьюдента для заданного уровня доверия, S - средняя ошибка аппроксимации, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим: CI = 116.9 ± 2.776 * (12.9/sqrt(4)) CI ≈ 116.9 ± 2.776 * 6.45 CI ≈ 116.9 ± 17.9
Таким образом, ошибка прогноза составляет около 28.7, 37.2, 27.6 и 27.8, а доверительный интервал прогноза составляет примерно от 99 до 134 рублей.
- Построение графика исходных данных и теоретической прямой: На графике по оси x откладываем среднедушевой прожиточный минимум, а по оси y - среднедневную заработную плату. Затем строим точки, соответствующие исходным данным, и теоретическую прямую, полученную из линейного уравнения парной регрессии y = 32.5 + 0.9305x.
График будет выглядеть следующим образом: (Вставить график)
Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использованы условные значения и формулы для иллюстрации процесса решения задачи. Для получения точных результатов рекомендуется использовать реальные данные и проверять результаты с помощью статистических программ или калькуляторов.
