1. В урне 6 черных, 5 красных, 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что а) третий шар окажется белым, е...

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Всего в группе 20 студентов, из которых 3 отличника и 5 студентов с задолженностью. Значит, у нас есть 12 студентов без задолженности и без отличных оценок. Мы должны выбрать 8 студентов из группы случайным образом. Вероятность того, что среди них есть хотя бы один отличник и нет студентов с задолженностью, можно рассчитать как 1 минус вероятность того, что все выбранные студенты не являются отличниками или имеют задолженность. Вероятность выбрать студента без отличных оценок и без задолженности равна 12/20. Поскольку мы выбираем 8 студентов, вероятность выбрать 8 студентов без отличных оценок и без задолженности будет равна (12/20)^8. Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что среди выбранных 8 студентов есть хотя бы один отличник и нет студентов с задолженностью: P(хотя бы один отличник и нет задолженности) = 1 - P(все выбранные студенты без отличных оценок и без задолженности) = 1 - (12/20)^8 Таким образом, вероятность того, что среди выбранных 8 студентов есть хотя бы один отличник и нет студентов с задолженностью, равна 1 минус вероятность того, что все выбранные студенты не являются отличниками или имеют задолженность, и составляет приблизительно 0.9999 или 99.99%.

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть X - количество попаданий в цель при n независимых выстрелах. Вероятность попадания в цель в каждом выстреле равна p = 0,6. Мы хотим найти минимальное значение n, при котором вероятность по меньшей мере одного попадания в цель будет больше 0,95. Это означает, что мы хотим найти такое n, при котором P(X ≥ 1) > 0,95. P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) P(X = 0) = (1 - p)^n Теперь мы можем записать неравенство: 1 - (1 - p)^n > 0,95 (1 - p)^n < 0,05 Теперь возьмем логарифм от обеих частей неравенства: n * log(1 - p) < log(0,05) n > log(0,05) / log(1 - p) Подставим значения p = 0,6 и рассчитаем: n > log(0,05) / log(1 - 0,6) ≈ 4,32 Таким образом, нам потребуется произвести как минимум 5 независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была больше 0,95.

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода: либо человек интересуется спортом, либо нет. Вероятность того, что один человек из выборки интересуется спортом, равна 36% или 0.36. Вероятность того, что один человек не интересуется спортом, равна 64% или 0.64. Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для нахождения вероятности того, что в выборке от 600 до 700 человек будут интересоваться спортом. P(600 ≤ X ≤ 700) = Σ (nCx) * p^x * (1-p)^(n-x) где n - общее количество испытуемых в выборке (2000), x - количество людей, интересующихся спортом, p - вероятность интереса к спорту (0.36), (nCx) - количество комбинаций из n по x. Мы можем использовать программу или калькулятор для вычисления этой суммы, но в данном случае я рекомендую использовать программу Python и библиотеку scipy.stats для вычисления биномиального распределения. Вот код на Python, который решает эту задачу: ```python from scipy.stats import binom n = 2000 p = 0.36 probability = binom.cdf(700, n, p) - binom.cdf(599, n, p) print("Вероятность от 600 до 700 человек, интересующихся спортом:", probability) ``` Результатом будет вероятность того, что в выборке от 600 до 700 человек будут интересоваться спортом.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие A - первый стрелок попал в цель, а событие B - два стрелка попали в цель. Мы хотим найти вероятность того, что первый стрелок попал в цель, при условии, что два стрелка попали в цель. Обозначим это событие как P(A|B). Используя формулу условной вероятности, получаем: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) P(A ∩ B) - вероятность того, что первый стрелок попал в цель и два стрелка попали в цель. P(B) - вероятность того, что два стрелка попали в цель. Вероятность того, что первый стрелок попал в цель и два стрелка попали в цель можно вычислить как произведение вероятности попадания первого стрелка и вероятности попадания двух других стрелков: P(A ∩ B) = P(A) * P(не A) * P(не A) + P(не A) * P(A) * P(не A) + P(не A) * P(не A) * P(A) где P(не A) - вероятность не попасть первому стрелку. P(A) = 0.5 P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5 P(A ∩ B) = 0.5 * 0.5 * 0.7 + 0.5 * 0.5 * 0.2 + 0.5 * 0.5 * 0.3 = 0.175 + 0.05 + 0.075 = 0.3 Теперь найдем вероятность P(B), что два стрелка попали в цель. Это может произойти в трех случаях: первый и второй попали, первый и третий попали, второй и третий попали. Вероятность каждого из этих случаев равна произведению вероятностей попадания соответствующих стрелков: P(B) = P(A) * P(не A) * P(не A) + P(не A) * P(A) * P(не A) + P(не A) * P(не A) * P(A) = 0.5 * 0.5 * 0.3 + 0.5 * 0.5 * 0.2 + 0.5 * 0.5 * 0.7 = 0.075 + 0.05 + 0.175 = 0.3 Теперь можем вычислить P(A|B): P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.3 / 0.3 = 1 Таким образом, вероятность того, что первый стрелок попал в цель, при условии, что два стрелка попали в цель, равна 1 или 100%.