5. Умножение матриц. Свойства операции матричного умножения.
Условие:
Решение:
Умножение матриц - это операция, которая соединяет две матрицы и создает новую матрицу. Результирующая матрица получается путем умножения элементов строк первой матрицы на элементы столбцов второй матрицы и их последующего сложения.
Для того чтобы умножение матриц было возможным, необходимо, чтобы количество столбцов в первой матрице совпадало с количеством строк во второй матрице. Если это условие выполняется, то размерность результирующей матрицы будет равна количеству строк первой матрицы и количеству столбцов второй матрицы.
Свойства операции матричного умножения:
-
Ассоциативность: (AB)C = A(BC), где A, B и C - матрицы, у которых размерности позволяют выполнить умножение.
-
Некоммутативность: в общем случае AB ≠ BA, то есть порядок умножения матриц имеет значение.
-
Дистрибутивность относительно сложения: A(B + C) = AB + AC и (A + B)C = AC + BC, где A, B и C - матрицы, у которых размерности позволяют выполнить умножение и сложение.
-
Умножение на единичную матрицу: AI = IA = A, где A - матрица, у которой размерности позволяют выполнить умножение, а I - единичная матрица.
-
Умножение на нулевую матрицу: A0 = 0A = 0, где A - матрица, у которой размерности позволяют выполнить умножение, а 0 - нулевая матрица.
-
Умножение на скаляр: k(AB) = (kA)B = A(kB) = (AB)k = kA, где k - скаляр, A и B - матрицы, у которых размерности позволяют выполнить умножение.
Эти свойства позволяют упростить вычисления и использовать умножение матриц в различных областях, таких как линейная алгебра, теория вероятностей, компьютерная графика и другие.
