Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти: а) функцию распределения случайной величины Х, построить ее график; б...
Условие:
Решение:
Для начала построим функцию распределения случайной величины X.
Функция распределения (F(x)) определяется как сумма вероятностей всех значений случайной величины X, которые меньше или равны x.
Для каждого значения x из ряда распределения, найдем сумму вероятностей всех значений, меньших или равных x.
Для x = 0: F(0) = P(X ≤ 0) = 0 Для x = 0.2: F(0.2) = P(X ≤ 0.2) = 0.2 Для x = 0.4: F(0.4) = P(X ≤ 0.4) = 0.2 + 0.4 = 0.6 Для x = 0.8: F(0.8) = P(X ≤ 0.8) = 0.2 + 0.4 + 0.8 = 1.0 Для x = 1: F(1) = P(X ≤ 1) = 0.2 + 0.4 + 0.8 + 1 = 2.0
Таким образом, функция распределения случайной величины X будет выглядеть следующим образом:
F(x) = 0, при x < 0 0.2, при 0 ≤ x < 0.2 0.6, при 0.2 ≤ x < 0.4 1.0, при 0.4 ≤ x < 0.8 2.0, при 0.8 ≤ x < 1 1.0, при x ≥ 1
Теперь построим график функции распределения:
|
2 |_____________________
| |
1 | _________ |
| | ||
| | ||
0 |__________|_________|_________
0 0.2 0.4 0.8 1
Теперь найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Математическое ожидание (E(X)) определяется как сумма произведений значений случайной величины X на их вероятности.
E(X) = 0 * 0.2 + 0.2 * 0.25 + 0.4 * 0.1 + 0.8 * 0.3 + 1 * 0.15 = 0.59
Дисперсия (Var(X)) определяется как сумма квадратов разности значений случайной величины X и математического ожидания, умноженных на их вероятности.
Var(X) = (0 - 0.59)^2 * 0.2 + (0.2 - 0.59)^2 * 0.25 + (0.4 - 0.59)^2 * 0.1 + (0.8 - 0.59)^2 * 0.3 + (1 - 0.59)^2 * 0.15 = 0.1663
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 0.59, а дисперсия равна 0.1663.
