доказать (не используя теорему сложения), что для любых двух событий А и В справедливо соотношение Р(А∪ В)⩽Р(А) +Р(В)
Условие:
доказать (не используя теорему сложения), что для любых двух событий А и В справедливо соотношение Р(А∪ В)⩽Р(А) +Р(В)
Решение:
Для доказательства данного соотношения, нам понадобится использовать неравенство Бонферрони-Шидмакера.
Неравенство Бонферрони-Шидмакера утверждает, что для любых событий A и B выполняется следующее неравенство:
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).
Данное неравенство может быть доказано с использованием принципа включения-исключения.
Для начала, рассмотрим событие A ∪ B. Это событие происходит, если происходит либо событие A, либо событие B, либо оба события одновременно.
Мы можем представить событие A ∪ B в виде объединения трех непересекающихся множеств: A, B и (A ∩ B). То есть:
A ∪ B = A + B - (A ∩ B).
Теперь рассмотрим вероятности этих трех множеств:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Так как P(A ∩ B) является вероятностью пересечения событий A и B, она всегда неотрицательна:
P(A ∩ B) ≥ 0.
Следовательно, мы можем утверждать, что:
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).
Таким образом, мы доказали, что для любых двух событий A и B справедливо соотношение:
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).
И это доказывает исходное утверждение без использования теоремы сложения.
