Экзамен состоит из 30 вопросов, в билете два вопроса(экзамен считается сданным если студент ответил на один вопрос) 10 студентов выучили все...

Для нахождения распределения вероятностей T, мы можем использовать метод геометрического распределения. Пусть X - случайная величина, обозначающая число выстрелов, необходимых для поражения одной мишени. В данном случае, X имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,6, так как вероятность попадания в цель равна 0,6. Так как биатлонист должен поразить 3 мишени, общее число выстрелов Y, которое он сделает, будет равно 3*X. Теперь мы можем найти распределение вероятностей T - общего времени, проведенного на огневом рубеже. Поскольку каждый выстрел занимает 8 секунд, общее время T будет равно 8*Y. Таким образом, распределение вероятностей T будет иметь следующий вид: P(T = t) = P(8*Y = t) = P(Y = t/8) = (1-p)^(t/8-1) * p, где p = 0,6 - вероятность попадания в цель, t - время в секундах. Таким образом, распределение вероятностей T будет геометрическим распределением с параметром p = 0,6 и масштабирующим множителем 8.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства экспоненциального распределения. а) Параметр распределения λ можно найти, используя следующее соотношение: P(X < x) = 1 - e^(-λx) Из условия задачи, P(X < 2) = 0.8, поэтому: 0.8 = 1 - e^(-2λ) Решая это уравнение относительно λ, получаем: e^(-2λ) = 0.2 -2λ = ln(0.2) λ = -ln(0.2) / 2 Таким образом, параметр распределения λ равен -ln(0.2) / 2. Математическое ожидание MX для экспоненциального распределения равно 1/λ, а дисперсия DX равна 1/λ^2. Подставляя найденное значение λ, получаем: MX = 1 / (-ln(0.2) / 2) = -2 / ln(0.2) DX = 1 / (-ln(0.2) / 2)^2 = 4 / ln(0.2)^2 б) Функция плотности распределения вероятностей f(x) для экспоненциального распределения с параметром λ выглядит следующим образом: f(x) = λ * e^(-λx) Подставляя найденное значение λ, получаем: f(x) = (-ln(0.2) / 2) * e^((-ln(0.2) / 2) * x) в) График функции распределения F(x) и функции плотности распределения f(x) можно построить, используя найденные значения параметра λ. График функции распределения F(x) будет иметь вид: F(x) = 1 - e^(-λx) График функции плотности распределения f(x) будет иметь экспоненциальную форму, снижающуюся с увеличением x. Обратите внимание, что значения параметра λ, математического ожидания MX и дисперсии DX могут быть округлены до нужного количества знаков после запятой в зависимости от требований задачи.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорему Байеса. Давайте обозначим события: A - пациент болен B - тест положительный Мы хотим найти вероятность того, что пациент действительно болен при положительном тесте, то есть P(A|B). Из условия задачи у нас есть следующая информация: P(A) = 0.3 (вероятность того, что пациент болен) P(B|A) = 0.86 (вероятность положительного теста при наличии заболевания) P(B|A') = 0.11 (вероятность положительного теста при отсутствии заболевания) Мы также можем использовать дополнение события A, так как P(A') = 1 - P(A) = 0.7. Теперь мы можем применить формулу Байеса: P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B) P(B) можно вычислить с использованием полной вероятности: P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') Подставляя значения, получаем: P(B) = 0.86 * 0.3 + 0.11 * 0.7 = 0.258 + 0.077 = 0.335 Теперь мы можем вычислить P(A|B): P(A|B) = (0.86 * 0.3) / 0.335 = 0.258 / 0.335 ≈ 0.770 Таким образом, вероятность того, что пациент действительно болен при положительном тесте, составляет около 0.770 или 77%.

Для решения этой задачи нам понадобится применить комбинаторику и вероятность. Итак, у нас есть 15 лампочек, из которых 4 являются стандартными, а остальные 11 - нестандартными. Мы должны выбрать 2 лампочки наудачу. Сначала посчитаем общее количество возможных комбинаций выбора 2 лампочек из 15. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) где n - общее количество объектов (в нашем случае 15), k - количество объектов, которые мы выбираем (в нашем случае 2), и ! обозначает факториал. Применяя формулу сочетаний, получаем: C(15, 2) = 15! / (2! * (15-2)!) = 15! / (2! * 13!) = (15 * 14) / (2 * 1) = 105 Теперь посчитаем количество комбинаций, в которых обе выбранные лампочки являются стандартными. У нас есть 4 стандартные лампочки, поэтому мы можем выбрать 2 из них: C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 Теперь мы можем найти количество комбинаций, в которых хотя бы одна из выбранных лампочек является нестандартной, вычитая количество комбинаций, в которых обе выбранные лампочки являются стандартными, из общего количества комбинаций: Количество комбинаций с хотя бы одной нестандартной лампочкой = общее количество комбинаций - количество комбинаций с обеими стандартными лампочками = 105 - 6 = 99 Теперь мы можем найти вероятность того, что хотя бы одна из выбранных лампочек является нестандартной, разделив количество комбинаций с хотя бы одной нестандартной лампочкой на общее количество комбинаций: Вероятность = количество комбинаций с хотя бы одной нестандартной лампочкой / общее количество комбинаций = 99 / 105 ≈ 0.943 Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна из выбранных лампочек является нестандартной, составляет примерно 0.943 или 94.3%.