Плотность вероятности случайной величины задана выражением: 0, x ≤ 0 C*2·x,0< x <2 0, x ≥ 2 Найти: постоянный параметр ,C функцию распре...
Условие:
Плотность вероятности случайной величины задана выражением:
0, x ≤ 0 C*2·x,0< x <2 0, x ≥ 2
Найти:
постоянный параметр ,C функцию распределения ,F(X) математическое ожидание ,M(X) среднее квадратическое отклонение , вероятность попадания X в ,(0$0.5) построить графики и p(x) и F(x)
Решение:
Для нахождения постоянного параметра C воспользуемся условием нормировки плотности вероятности. Интеграл от плотности вероятности должен быть равен 1:
∫[0,2] C*2·x dx = 1
Вычислим этот интеграл:
C * ∫[0,2] 2·x dx = 1
C * [x^2] [0,2] = 1
C * (2^2 - 0^2) = 1
C * 4 = 1
C = 1/4
Таким образом, постоянный параметр C равен 1/4.
Теперь найдем функцию распределения F(X). Функция распределения определяется как интеграл от плотности вероятности до заданного значения X:
F(X) = ∫[0,X] p(x) dx
Разобьем интеграл на две части:
F(X) = ∫[0,X] C*2·x dx + ∫[X,2] 0 dx
F(X) = C * ∫[0,X] 2·x dx + 0
F(X) = C * [x^2] [0,X]
F(X) = C * (X^2 - 0^2)
F(X) = C * X^2
Подставим значение C = 1/4:
F(X) = (1/4) * X^2
Теперь найдем математическое ожидание M(X). Математическое ожидание определяется как интеграл от произведения значения X на плотность вероятности:
M(X) = ∫[0,2] x * p(x) dx
Разобьем интеграл на две части:
M(X) = ∫[0,2] x * C*2·x dx
M(X) = C * ∫[0,2] 2·x^2 dx
M(X) = C * [2/3 * x^3] [0,2]
M(X) = C * (2/3 * 2^3 - 2/3 * 0^3)
M(X) = C * (16/3)
Подставим значение C = 1/4:
M(X) = (1/4) * (16/3)
M(X) = 4/3
Теперь найдем среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии, а дисперсия вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения от среднего:
σ(X) = sqrt(∫[0,2] (x - M(X))^2 * p(x) dx)
Разобьем интеграл на две части:
σ(X) = sqrt(∫[0,2] (x - M(X))^2 * C*2·x dx)
σ(X) = sqrt(C * ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx)
Для упрощения вычислений, найдем сначала интеграл ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx:
∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx = ∫[0,2] (x^3 - 2 * M(X) * x^2 + (M(X))^2 * x) dx
∫[0,2] (x^3 - 2 * (4/3) * x^2 + (4/3)^2 * x) dx = ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx
∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = [1/4 * x^4 - (8/9) * x^3 + (8/9) * x^2] [0,2]
∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 1/4 * 2^4 - (8/9) * 2^3 + (8/9) * 2^2 - 0
∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 4 - (64/9) + (32/9)
∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 4/9
Теперь найдем среднее квадратическое отклонение:
σ(X) = sqrt(C * ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx)
σ(X) = sqrt((1/4) * (4/9))
σ(X) = sqrt(1/9)
σ(X) = 1/3
Теперь найдем вероятность попадания X в интервал (0, 0.5). Вероятность попадания в интервал определяется как интеграл от плотности вероятности в этом интервале:
P(0 < X < 0.5) = ∫[0,0.5] p(x) dx
P(0 < X < 0.5) = ∫[0,0.5] (1/4) * 2·x dx
P(0 < X < 0.5) = (1/4) * ∫[0,0.5] 2·x dx
P(0 < X < 0.5) = (1/4) * [x^2] [0,0.5]
P(0 < X < 0.5) = (1/4) * (0.5^2 - 0^2)
P(0 < X < 0.5) = (1/4) * (0.25 - 0)
P(0 < X < 0.5) = 0.0625
Таким образом, вероятность попадания X в интервал (0, 0.5) равна 0.0625.
Теперь построим графики функции плотности вероятности p(x) и функции распределения F(x).
График функции плотности вероятности p(x):
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 2, 100)
y = np.piecewise(x, [x <= 0, (x > 0) & (x < 2), x >= 2], [0, lambda x: (1/4) * 2 * x, 0])
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('p(x)')
plt.title('График функции плотности вероятности p(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
График функции распределения F(x):
x = np.linspace(0, 2, 100)
y = (1/4) * x**2
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)')
plt.title('График функции распределения F(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
Пожалуйста, обратите внимание, что код для построения графиков предполагает использование библиотеки matplotlib в языке программирования Python.
